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2014 AMC 12A 第 21 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

21.

对每个实数 xx，令 ⌊x⌋\lfloor x\rfloor 表示不超过 xx 的最大整数，并定义 f(x)=⌊x⌋(2014 x−⌊x⌋−1)。f(x)=\lfloor x\rfloor\left(2014^{\,x-\lfloor x\rfloor}-1\right)\text{。} 所有满足 1≤x<20141\le x\lt2014 且 f(x)≤1f(x)\le1 的 xx 组成若干互不相交区间的并。这些区间长度之和是多少？

For every real number x,x, let ⌊x⌋\lfloor x\rfloor denote the greatest integer not exceeding x,x, and let f(x)=⌊x⌋(2014 x−⌊x⌋−1).f(x)=\lfloor x\rfloor\left(2014^{\,x-\lfloor x\rfloor}-1\right). The set of all numbers xx such that 1≤x<20141\le x\lt2014 and f(x)≤1f(x)\le1 is a union of disjoint intervals. What is the sum of the lengths of those intervals?

11

log⁡2015log⁡2014\dfrac{\log2015}{\log2014}

log⁡2014log⁡2013\dfrac{\log2014}{\log2013}

20142013\dfrac{2014}{2013}

2014120142014^{\frac{1}{2014}}

答案：A
知识点：取整函数对数裂项相消
难度评级：2170
小提示：

写 x=n+rx=n+r，其中 n=⌊x⌋n=\lfloor x\rfloor，0≤r<10\le r\lt1，于是 f(x)=n(2014 r−1)f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right)。

Write x=n+rx=n+r with n=⌊x⌋n=\lfloor x\rfloor and 0≤r<1,0\le r\lt1, so f(x)=n(2014 r−1)f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right)

大提示：

条件 f(x)≤1f(x)\le1 给出 0≤r≤log⁡2014n+1n0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}；把这些长度相加并裂项化简。

The condition f(x)≤1f(x)\le1 gives 0≤r≤log⁡2014n+1n0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}; sum these lengths and telescope

解答：

写 x=n+rx=n+r，其中 nn 为整数且 1≤n≤20131\le n\le2013，0≤r<10\le r\lt1。于是 f(x)=n(2014 r−1)f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right)，而 f(x)≤1f(x)\le1 等价于 2014 r≤1+1n2014^{\,r}\le1+\dfrac1n，也就是 0≤r≤log⁡2014n+1n0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}。

因此每个 nn 对应的区间长度为 log⁡2014n+1n\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}，所以总长度为 ∑n=12013log⁡2014n+1n=log⁡2014 ⁣(21⋅32⋯20142013)=log⁡20142014=1。 \begin{gathered} \sum_{n=1}^{2013}\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}\\ =\log_{2014}\!\left(\dfrac21\cdot\dfrac32\cdots\dfrac{2014}{2013}\right)\\ =\log_{2014}2014=1 \end{gathered}\text{。}

所以正确答案是 A。

Write x=n+rx=n+r with integer nn (1≤n≤20131\le n\le2013) and 0≤r<1.0\le r\lt1. Then f(x)=n(2014 r−1),f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right), and f(x)≤1f(x)\le1 becomes 2014 r≤1+1n,2014^{\,r}\le1+\dfrac1n, i.e. 0≤r≤log⁡2014n+1n.0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}.

Each nn contributes an interval of length log⁡2014n+1n,\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}, so the total is ∑n=12013log⁡2014n+1n=log⁡2014 ⁣(21⋅32⋯20142013)=log⁡20142014=1. \begin{gathered} \sum_{n=1}^{2013}\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}\\ =\log_{2014}\!\left(\dfrac21\cdot\dfrac32\cdots\dfrac{2014}{2013}\right)\\ =\log_{2014}2014=1. \end{gathered}

Thus, the correct answer is A.

第 20 题#20
完整试卷
第 22 题#22

其他年份的第 21 题

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