Question

一个长方形的两个不相邻顶点为 $(4,3)$ 和 $(-4,-3)$ ，另外两个顶点的坐标均为整数。这样的长方形有多少个？

Two nonadjacent vertices of a rectangle are $(4,3)$ and $(-4,-3),$ and the coordinates of the other two vertices are integers. The number of such rectangles is

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：E

知识点：rectangles lattice points diagonals

难度评级：2280

小提示：

长方形的两条对角线长度相等且中点相同

A rectangle’s diagonals have equal length and the same midpoint

大提示：

列出从原点出发、长度为 $5$ 的整数向量，并把互为反向的向量配对

Enumerate integer vectors of length $5$ from the origin, identifying antipodal pairs

解答：

已知对角线的中点是 $(0,0)$ ，半长为 $5$ 。因此另一条对角线的端点必须是 $(u,v)$ 和 $(-u,-v)$ ，其中 $u^2+v^2=25$ 。反过来，中点相同且长度相等的两条对角线构成一个长方形。这个圆上共有 $12$ 个整数点： $\begin{gathered} (\pm5,0),(0,\pm5),\\ (\pm3,\pm4),(\pm4,\pm3) \end{gathered}\text{。}$ 一对对径点确定同一条对角线，因此有 $6$ 种可能。其中一种就是已知对角线本身，会产生退化图形，所以还剩 $6-1=5$ 个长方形。因此正确答案是 E。

The given diagonal has midpoint $(0,0)$ and half-length $5.$ The other diagonal must therefore have endpoints $(u,v)$ and $(-u,-v)$ with $u^2+v^2=25.$ Conversely, two equal diagonals with the same midpoint form a rectangle. There are $12$ integer points on this circle: $\begin{gathered} (\pm5,0),(0,\pm5),\\ (\pm3,\pm4),(\pm4,\pm3). \end{gathered}$ Antipodal points determine the same diagonal, giving $6$ possibilities. One is the given diagonal itself, which is degenerate, so $6-1=5$ rectangles remain. Thus the correct answer is E.

1995 AMC 12 第 21 题

答案：E

难度评级：2280

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题