Question

下列哪个多项式有最大的实根？

Which of the following polynomials has the greatest real root?

$x^{19} + 2018x^{11} + 1$

$x^{17} + 2018x^{11} + 1$

$x^{19} + 2018x^{13} + 1$

$x^{17} + 2018x^{13} + 1$

$2019x + 2018$

答案：B

知识点：多项式不等式极限情形界定

难度评级：2210

小提示：

由笛卡尔符号法则，每个多项式恰有一个实根，且它位于 $(-1, 0)$

By Descartes’ Rule of Signs each polynomial has exactly one real root, and it lies in $(-1, 0)$

大提示：

在 $(-1, 0)$ 上，取值较大的多项式有较小的根；注意那里 $x^{19} \gt x^{17}$ 且 $x^{13} \gt x^{11}$ 。

On $(-1, 0)$ a polynomial with larger values has a smaller root; note $x^{19} \gt x^{17}$ and $x^{13} \gt x^{11}$ there

解答：

选项 A-D 中每个多项式都没有正根，且恰有一个负根，位于 $(-1, 0)$ （在 $0$ 处为正，在 $-1$ 处为负），并且在该区间递增。在区间 $(-1, 0)$ 上， $x^{19} \gt x^{17}$ 且 $x^{13} \gt x^{11}$ 。因此在这个区间的每一点上，A、C、D 的取值都大于 B，于是它们与 $0$ 的交点都比 B 更靠左。所以在 A 到 D 中，B 的根最大。

一次的选项 E 的根为 $e=-\tfrac{2018}{2019}$ 。因为 $\tfrac{2018}{2019}\gt\tfrac9{10}$ ，所以 $e^{17}+2018e^{11}+1$ $\lt-2018\left(\tfrac9{10}\right)^{11}+1$ $\lt0$ 。由于选项 B 的多项式单调递增，且在 $e$ 处取负值，它的根在 E 的根的右侧。因此 B 的实根最大。

所以正确答案是 B。

Each polynomial in choices A–D has no positive root and exactly one negative root, which lies in $(-1, 0)$ (it is positive at $0$ and negative at $-1$ ) and is increasing there. On the interval $(-1, 0),$ $x^{19} \gt x^{17}$ and $x^{13} \gt x^{11}.$ Thus each of A, C, and D has a larger value than B at every point of this interval, so each crosses $0$ to the left of B. Therefore B has the greatest root among A–D.

The linear choice E has root $e=-\tfrac{2018}{2019}.$ Since $\tfrac{2018}{2019}\gt\tfrac9{10},$ we have $e^{17}+2018e^{11}+1$ $\lt-2018\left(\tfrac9{10}\right)^{11}+1$ $\lt0.$ Because B is increasing and is negative at $e,$ its root lies to the right of E’s. Hence B has the greatest real root.

Thus, the correct answer is B.

2018 AMC 12A 第 21 题

答案：B

难度评级：2210

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题