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1975 AMC 12 第 21 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

21.

设 f(x)f(x) 对所有实数 xx 都有定义；f(x)>0f(x)\gt0 对所有 xx 成立；且 f(a)f(b)=f(a+b)f(a)f(b)=f(a+b) 对所有 aa 和 bb 成立。下列哪些命题为真？

I. f(0)=1f(0)=1

II. f(−a)=1f(a)f(-a)=\frac{1}{f(a)} 对所有 aa 成立

III. f(a)=f(3a)3f(a)=\sqrt[3]{f(3a)} 对所有 aa 成立

IV. f(b)>f(a)f(b)\gt f(a)，只要 b>ab\gt a

Suppose f(x)f(x) is defined for all real numbers x;x; f(x)>0f(x)\gt0 for all x;x; and f(a)f(b)=f(a+b)f(a)f(b)=f(a+b) for all aa and b.b. Which of the following statements are true?

I. f(0)=1f(0)=1

II. f(−a)=1f(a)f(-a)=\frac{1}{f(a)} for all aa

III. f(a)=f(3a)3f(a)=\sqrt[3]{f(3a)} for all aa

IV. f(b)>f(a)f(b)\gt f(a) if b>ab\gt a

只有 III\mathrm{III} 和 IV\mathrm{IV}

III\mathrm{III} and IV\mathrm{IV} only

只有 I\mathrm{I}、III\mathrm{III} 和 IV\mathrm{IV}

I,\mathrm{I}, III\mathrm{III} and IV\mathrm{IV} only

只有 I\mathrm{I}、II\mathrm{II} 和 IV\mathrm{IV}

I,\mathrm{I}, II\mathrm{II} and IV\mathrm{IV} only

只有 I\mathrm{I}、II\mathrm{II} 和 III\mathrm{III}

I,\mathrm{I}, II\mathrm{II} and III\mathrm{III} only

全部为真。

All are true.

答案：D
知识点：函数方程换元法反例
难度评级：1670
小提示：

依次代入 a=0, b=−aa=0,\ b=-a，再将 aa 连加三次

Substitute a=0, b=−a,a=0,\ b=-a, and then add aa three times

大提示：

用常函数 f(x)=1f(x)=1 检验单调性命题

Test the monotonicity claim with the constant function f(x)=1f(x)=1

解答：

取 a=0a=0，结合函数值为正可得 f(0)=1f(0)=1。取 b=−ab=-a，得 f(a)f(−a)=1f(a)f(-a)=1。另外，f(3a)=f(a)3f(3a)=f(a)^3，所以由函数值为正，可以在 III 中取正的立方根。但是 f(x)=1f(x)=1 满足该函数方程却不是严格递增函数，因此 IV 不一定成立。

因此，正确答案是 D。

Taking a=0a=0 and using positivity gives f(0)=1.f(0)=1. Taking b=−ab=-a gives f(a)f(−a)=1.f(a)f(-a)=1. Also f(3a)=f(a)3,f(3a)=f(a)^3, so positivity permits the positive cube root in III. But f(x)=1f(x)=1 satisfies the functional equation and is not strictly increasing, so IV need not hold.

Therefore, the correct answer is D.

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