若 f((x)/(x-1))=\frac1x 对所有 x\notin\0,1\ 都成立，且 0\lt\theta\lt(π)/(2) ，则 f(\sec^2\theta)=

1991 AMC 12 第 21 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1991 AMC 12 第 21 题

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21.

若 $f\left(\frac{x}{x-1}\right)=\frac1x$ 对所有 $x\notin\{0,1\}$ 都成立，且 $0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}$ ，则 $f(\sec^2\theta)=$

If $f\left(\frac{x}{x-1}\right)=\frac1x$ for all $x\notin\{0,1\},$ and $0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2},$ then $f(\sec^2\theta)=$

$\sin^2\theta$

$\cos^2\theta$

$\tan^2\theta$

$\cot^2\theta$

$\csc^2\theta$

答案：A

知识点：function substitution 三角恒等式

难度评级：1800

小提示：

选择 $x$ ，使得 $\frac{1}{x}=\sec^2\theta$

Choose $x$ so that $\frac{1}{x}=\sec^2\theta$

大提示：

使用 $1-\cos^2\theta=\sin^2\theta$

Use $1-\cos^2\theta=\sin^2\theta$

解答：

由于 $\sec^2\theta=\frac1{\cos^2\theta} =\frac{\csc^2\theta}{\csc^2\theta-1}\text{，}$ 在定义中取 $x=\csc^2\theta$ 。于是 $f(\sec^2\theta)=\frac1{\csc^2\theta}=\sin^2\theta\text{。}$

因此正确答案为 A。

Since $\sec^2\theta=\frac1{\cos^2\theta} =\frac{\csc^2\theta}{\csc^2\theta-1},$ choose $x=\csc^2\theta$ in the definition. Then $f(\sec^2\theta)=\frac1{\csc^2\theta}=\sin^2\theta.$

Thus the correct answer is A.

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