Question

满足 $\begin{aligned} &(2^x-4)^3+(4^x-2)^3\\ &\qquad=(4^x+2^x-6)^3 \end{aligned}$ 的所有实数 $x$ 之和为

The sum of all real $x$ such that $\begin{aligned} &(2^x-4)^3+(4^x-2)^3\\ &\qquad=(4^x+2^x-6)^3 \end{aligned}$ is

$\frac32$

$2$

$\frac52$

$3$

$\frac72$

答案：E

知识点：sum of cubes exponential equation 因式分解

难度评级：1950

小提示：

令 $a=2^x-4$ ， $b=4^x-2$

Set $a=2^x-4$ and $b=4^x-2$

大提示：

把 $a^3+b^3-(a+b)^3$ 分解为 $-3ab(a+b)$

Factor $a^3+b^3-(a+b)^3$ as $-3ab(a+b)$

解答：

令 $a=2^x-4$ ， $b=4^x-2$ 。右边为 $(a+b)^3$ ，所以 $a^3+b^3=(a+b)^3$ 等价于 $ab(a+b)=0$ 。三种情形分别给出 $2^x=4$ 、 $4^x=2$ 或 $4^x+2^x=6$ ，对应的实数解分别为 $x=2,\frac12$ 和 $1$ 。它们的和为 $2+\frac12+1=\frac72$ 。

因此正确答案为 E。

Let $a=2^x-4$ and $b=4^x-2.$ The right side is $(a+b)^3,$ so $a^3+b^3=(a+b)^3$ is equivalent to $ab(a+b)=0.$ The cases give $2^x=4,$ $4^x=2,$ or $4^x+2^x=6,$ whose real solutions are $x=2,\frac12,$ and $1,$ respectively. Their sum is $2+\frac12+1=\frac72.$

Thus the correct answer is E.

1991 AMC 12 第 20 题

答案：E

难度评级：1950

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题