Question

从区间 $(0, 1)$ 中随机选取 $x$ 。满足 $\lfloor \log_{10} 4x \rfloor - \lfloor \log_{10} x \rfloor = 0$ 的概率是多少？这里 $\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。

Let $x$ be chosen at random from the interval $(0, 1).$ What is the probability that $\lfloor \log_{10} 4x \rfloor - \lfloor \log_{10} x \rfloor = 0?$ Here $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer that is less than or equal to $x.$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{3}{20}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

答案：C

知识点：取整函数对数几何概率

难度评级：2090

小提示：

条件表示 $x$ 和 $4x$ 具有相同的十的幂数量级

The condition says $x$ and $4x$ have the same power-of-ten magnitude

大提示：

在每个区间 $[10^n, 10^{n+1})$ 上，条件在 $x \lt \dfrac{10^{n+1}}{4}$ 时成立。

On each interval $[10^n, 10^{n+1}),$ the condition holds for $x \lt \dfrac{10^{n+1}}{4}$

解答：

方程表示 $\lfloor \log_{10} x \rfloor = \lfloor \log_{10} 4x \rfloor$ ，也就是 $x$ 和 $4x$ 位于同一区间 $[10^n, 10^{n+1})$ 。

这恰好在 $10^n \le x$ 且 $4x \lt 10^{n+1}$ 时成立，即 $10^n \le x \lt \dfrac{10^{n+1}}{4}$ 。

在 $[10^n, 10^{n+1})$ 内，有利部分所占比例为 $\begin{aligned} &\frac{\frac{10^{n+1}}{4} - 10^n}{10^{n+1} - 10^n} \\ &= \frac{\frac{10}{4} - 1}{10 - 1} = \frac{1}{6} \end{aligned}\text{。}$

因为这个比例在每个这样的区间上都相同，所以总概率为 $\dfrac{1}{6}$ 。

因此，正确答案是 C。

The equation says $\lfloor \log_{10} x \rfloor = \lfloor \log_{10} 4x \rfloor,$ i.e. $x$ and $4x$ lie in the same interval $[10^n, 10^{n+1}).$

This holds exactly when $10^n \le x$ and $4x \lt 10^{n+1},$ that is $10^n \le x \lt \dfrac{10^{n+1}}{4}.$

Within $[10^n, 10^{n+1}),$ the favorable fraction is $\begin{aligned} &\frac{\frac{10^{n+1}}{4} - 10^n}{10^{n+1} - 10^n} \\ &= \frac{\frac{10}{4} - 1}{10 - 1} = \frac{1}{6}. \end{aligned}$

Since this fraction is the same on every such interval, the overall probability is $\dfrac{1}{6}.$

Thus, the correct answer is C.

2006 AMC 12B 第 20 题

答案：C

难度评级：2090

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题