LIVE by Po-Shen Loh标识

LIVE

中文

2006 AMC 12B 第 19 题

先试着解答 2006 AMC 12B 第 19 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2006 AMC 12B 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

19.

Jones 先生有八个年龄各不相同的孩子。在一次家庭旅行中，他最大的孩子 99 岁，看到一块车牌上的 44 位数，其中两个数字各出现两次。她喊道：“看，爸爸！那个数能被我们每个孩子的年龄整除！” Jones 先生回答：“没错，而且最后两位数字刚好是我的年龄。”下列哪一个不是 Jones 先生某个孩子的年龄？

Mr. Jones has eight children of different ages. On a family trip his oldest child, who is 9,9, spots a license plate with a 44-digit number in which each of two digits appears two times. “Look, daddy!” she exclaims. “That number is evenly divisible by the age of each of us kids!” “That’s right,” replies Mr. Jones, “and the last two digits just happen to be my age.” Which of the following is not the age of one of Mr. Jones’s children?

44

55

66

77

88

答案：B
知识点：整除性数字分类讨论
难度评级：1920
小提示：

最大的孩子 99 岁，所以该数能被 99 整除，迫使两个数字之和为 99。

The oldest child is 9,9, so the number is divisible by 9,9, forcing the two digits to sum to 99

大提示：

一个以两位年龄结尾的数不能以 00 结尾，因此思考它必须避开哪个较小的年龄。

A number ending in a two-digit age cannot end in 0,0, so think about which small ages it must avoid

解答：

这个数的形式为 aabbaabb，abababab，或 baabbaab。能被 99 整除说明 2(a+b)2(a + b) 是 99 的倍数，所以 a+b=9a + b = 9。

八个不同年龄是从 11 到 99 的九个整数中的八个，所以年龄 44 和 88 中至少出现一个。因此这个数能被 44 整除。可能性变为 1188,2772,36361188, 2772, 3636，5544,6336,7272,99005544, 6336, 7272, 9900。

因为末两位是 Jones 先生的年龄，99009900 不可能，其余数也都不是 55 的倍数。所以孩子们的年龄不能包含 55。事实上，55445544 能被 1,2,3,4,6,7,8,91, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 整除。

所以正确答案是 B。

The number has the form aabb,aabb, abab,abab, or baab.baab. Divisibility by 99 means 2(a+b)2(a + b) is a multiple of 9,9, so a+b=9.a + b = 9.

The eight distinct ages are eight of the nine integers from 11 through 9,9, so at least one of ages 44 and 88 occurs. Therefore the number is divisible by 4.4. The possibilities become 1188,2772,3636,1188, 2772, 3636, 5544,6336,7272,9900.5544, 6336, 7272, 9900.

Since the last two digits are Mr. Jones’s age, 99009900 is impossible, and none of the others is a multiple of 5.5. So the children’s ages cannot include 5.5. Indeed 55445544 is divisible by 1,2,3,4,6,7,8,9.1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9.

Thus, the correct answer is B.

第 18 题#18
完整试卷
第 20 题#20

其他年份的第 19 题

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B