1979 AMC 12 第 19 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

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1979 AMC 12 第 19 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

19.

求所有满足方程 $x^{256}-256^{32}=0$ 的实数的平方和。

Find the sum of the squares of all real numbers satisfying the equation $x^{256}-256^{32}=0.$

$8$

$128$

$512$

$65{,}536$

$2(256^{32})$

答案：A

知识点：指数完全幂零积性质

难度评级：1650

小提示：

把 $256^{32}$ 改写成指数为 $256$ 的幂

Rewrite $256^{32}$ as a single power with exponent $256$

大提示：

求出哪两个实数的 $256$ 次幂等于 $2^{256}$

Determine the two real values whose $256$ th powers equal $2^{256}$

解答：

因为 $256=2^8$ ，所以 $256^{32}=2^{256}\text{。}$ 因此 $(\frac{x}{2})^{256}=1$ 。实数解为 $x=2$ 和 $x=-2$ ，它们的平方和为 $4+4=8$ 。

因此，正确答案是 A。

Since $256=2^8,$ $256^{32}=2^{256}.$ Thus $(\frac{x}{2})^{256}=1.$ The real solutions are $x=2$ and $x=-2,$ and the sum of their squares is $4+4=8.$

Therefore, the correct answer is A.

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