1979 AMC 12 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

矩形 $ABCD$ 的面积为 $72$ 平方米， $E$ 和 $G$ 分别是边 $AD$ 和 $CD$ 的中点。矩形 $DEFG$ 的面积是多少平方米？

If rectangle $ABCD$ has area $72$ square meters and $E$ and $G$ are the midpoints of sides $AD$ and $CD,$ respectively, then the area of rectangle $DEFG$ in square meters is

$8$

$9$

$12$

$18$

$24$

知识点：矩形中点面积

难度评级：840

小提示：

两个中点条件使相应的边长各减半

The two midpoint conditions halve the relevant side lengths

大提示：

比较 $DEFG$ 与 $ABCD$ 的面积缩放因子

Compare the area scale factor of $DEFG$ with that of $ABCD$

解答：

矩形 $DEFG$ 的两条边长分别是矩形 $ABCD$ 相应边长的一半。因此，它的面积是 $72$ 的 $(\frac{1}{2})(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$ ，即 $18$ 。

因此，正确答案是 D。

The side lengths of $DEFG$ are one half the corresponding side lengths of $ABCD.$ Its area is therefore $(\frac{1}{2})(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$ of $72,$ which is $18.$

Therefore, the correct answer is D.

2.

对于所有满足 $x-y=xy$ 的非零实数 $x$ 和 $y$ ， $\frac1x-\frac1y$ 等于

For all nonzero real numbers $x$ and $y$ such that $x-y=xy,$ $\frac1x-\frac1y$ equals

$\frac1{xy}$

$\frac1{x-y}$

$0$

$-1$

$y-x$

知识点：分数代数变形

难度评级：960

小提示：

把两个倒数通分到分母 $xy$

Combine the two reciprocals over the denominator $xy$

大提示：

用已知等式替换 $y-x$

Use the given equation to replace $y-x$

解答：

我们有 $\begin{aligned} \frac1x-\frac1y&=\frac{y-x}{xy}\\ &=-\frac{x-y}{xy}\\ &=-1 \end{aligned}\text{，}$ 因为 $x-y=xy$ 。

因此，正确答案是 D。

We have $\begin{aligned} \frac1x-\frac1y&=\frac{y-x}{xy}\\ &=-\frac{x-y}{xy}\\ &=-1, \end{aligned}$ because $x-y=xy.$

Therefore, the correct answer is D.

3.

在右图中， $ABCD$ 是正方形， $ABE$ 是等边三角形，且点 $E$ 位于正方形 $ABCD$ 外。 $\angle AED$ 的度数是多少？

In the adjoining figure, $ABCD$ is a square, $ABE$ is an equilateral triangle and point $E$ is outside square $ABCD.$ What is the measure of $\angle AED$ in degrees?

$10$

$12.5$

$15$

$20$

$25$

知识点：正方形（几何）等边三角形等腰三角形导角

难度评级：1410

小提示：

比较 $DA$ 、 $AB$ 和 $AE$

Compare $DA,$ $AB,$ and $AE$

大提示：

先求 $\angle DAE$ ，再利用等腰三角形 $\triangle DAE$ 的底角

Find $\angle DAE$ , then use the base angles of isosceles $\triangle DAE$

解答：

由正方形和等边三角形可得 $DA=AB=AE$ 。此外， $\begin{aligned} \angle DAE &=\angle DAB+\angle BAE\\ &=90^\circ+60^\circ\\ &=150^\circ \end{aligned}\text{。}$ 因此， $\triangle DAE$ 是等腰三角形，每个底角都是 $\frac{180^\circ-150^\circ}{2}=15^\circ$ 。

因此，正确答案是 C。

The square and equilateral triangle give $DA=AB=AE.$ Also $\begin{aligned} \angle DAE &=\angle DAB+\angle BAE\\ &=90^\circ+60^\circ\\ &=150^\circ. \end{aligned}$ Thus $\triangle DAE$ is isosceles, and each base angle is $\frac{180^\circ-150^\circ}{2}=15^\circ.$

Therefore, the correct answer is C.

4.

对于所有实数 $x$ ， $x[x\{x(2-x)-4\}+10]+1$ 等于

For all real numbers $x,$ $x[x\{x(2-x)-4\}+10]+1$ equals

$-x^4+2x^3+4x^2+10x+1$

$-x^4-2x^3+4x^2+10x+1$

$-x^4-2x^3-4x^2+10x+1$

$-x^4-2x^3-4x^2-10x+1$

$-x^4+2x^3-4x^2+10x+1$

知识点：多项式分配律代数变形

难度评级：1410

小提示：

从最内层括号开始向外展开

Expand from the innermost parentheses outward

大提示：

分别留意外面的两个因子 $x$

Track the outer two factors of $x$ separately

解答：

从内向外展开，得到 $\begin{aligned} &x[x\{x(2-x)-4\}+10]+1\\ &\quad=x[x(2x-x^2-4)+10]+1\\ &\quad=-x^4+2x^3-4x^2\\ &\qquad+10x+1 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Expanding from the inside gives $\begin{aligned} &x[x\{x(2-x)-4\}+10]+1\\ &\quad=x[x(2x-x^2-4)+10]+1\\ &\quad=-x^4+2x^3-4x^2\\ &\qquad+10x+1. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

5.

求交换个位与百位后保持不变的最大三位偶数（以十进制表示）的各位数字之和。

Find the sum of the digits of the largest even three digit number (in base ten representation) which is not changed when its units and hundreds digits are interchanged.

$22$

$23$

$24$

$25$

$26$

知识点：数字位值奇偶性

难度评级：960

小提示：

百位数字与个位数字必须相同

The hundreds and units digits must be equal

大提示：

在保证这个数为偶数的条件下，先使相同的首尾数字最大，再使十位数字最大

Maximize the equal outer digits subject to the number being even, then maximize the tens digit

解答：

相同的百位数字与个位数字必须是偶数。最大的非零偶数数字是 $8$ ，十位数字可以取 $9$ 。因此最大的数是 $898$ ，其各位数字之和为 $8+9+8=25$ 。

因此，正确答案是 D。

The equal hundreds and units digit must be even. The largest possible nonzero such digit is $8,$ and the tens digit can be $9.$ Thus the largest number is $898,$ whose digit sum is $8+9+8=25.$

Therefore, the correct answer is D.

6.

$\frac32+\frac54+\frac98+\frac{17}{16}$ $+\frac{33}{32}+\frac{65}{64}-7=$

$-\frac1{64}$

$-\frac1{16}$

$0$

$\frac1{16}$

$\frac1{64}$

知识点：分数等比数列求和

难度评级：1540

小提示：

把每个分数写成 $1$ 加上 $2$ 的某个负整数次幂

Write each fraction as $1$ plus a reciprocal power of $2$

大提示：

把 $\frac12+\frac14+\cdots+\frac1{64}$ 看作有限等比数列求和

Sum $\frac12+\frac14+\cdots+\frac1{64}$ as a finite geometric series

解答：

每个分子都比分母大一，因此原式为 $\begin{aligned} 6+\biggl(&\frac12+\frac14+\frac18\\ &+\frac1{16}+\frac1{32}+\frac1{64}\biggr)-7 \end{aligned}\text{。}$ 括号内的等比数列之和为 $1-\frac{1}{64}=\frac{63}{64}$ 。所以原式的值为 $6+\frac{63}{64}-7=-\frac{1}{64}$ 。

因此，正确答案是 A。

Each numerator is one more than its denominator, so the expression is $\begin{aligned} 6+\biggl(&\frac12+\frac14+\frac18\\ &+\frac1{16}+\frac1{32}+\frac1{64}\biggr)-7. \end{aligned}$ The parenthesized geometric sum is $1-\frac{1}{64}=\frac{63}{64}.$ Therefore the value is $6+\frac{63}{64}-7=-\frac{1}{64}.$

Therefore, the correct answer is A.

7.

整数的平方称为完全平方数。若 $x$ 是完全平方数，则下一个更大的完全平方数是

The square of an integer is called a perfect square. If $x$ is a perfect square, the next larger perfect square is

$x+1$

$x^2+1$

$x^2+2x+1$

$x^2+x$

$x+2\sqrt x+1$

知识点：完全平方数代数变形找规律

难度评级：1100

小提示：

令 $x=n^2$ ，其中 $n$ 是非负整数

Write $x=n^2$ for a nonnegative integer $n$

大提示：

展开下一个平方数 $(n+1)^2$ ，再用 $\sqrt x$ 替换 $n$

Expand the next square $(n+1)^2$ and replace $n$ by $\sqrt x$

解答：

令 $x=n^2$ ，其中 $n\ge0$ 。下一个更大的完全平方数是 $\begin{aligned} (n+1)^2&=n^2+2n+1\\ &=x+2\sqrt x+1 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Let $x=n^2$ with $n\ge0.$ The next larger perfect square is $\begin{aligned} (n+1)^2&=n^2+2n+1\\ &=x+2\sqrt x+1. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

8.

求曲线 $y=|x|$ 与 $x^2+y^2=4$ 所围成的最小区域的面积。

Find the area of the smallest region bounded by the graphs of $y=|x|$ and $x^2+y^2=4.$

$\frac\pi4$

$\frac{3\pi}4$

$\pi$

$\frac{3\pi}2$

$2\pi$

知识点：圆绝对值扇形圆面积

难度评级：1540

小提示：

$y=|x|$ 的两条射线交于圆心

The two rays of $y=|x|$ meet at the center of the circle

大提示：

求射线 $y=x$ 与 $y=-x$ 之间较小的圆心角

Find the smaller central angle between the rays $y=x$ and $y=-x$

解答：

两条射线与圆的交点所对应的方向角分别为 $45^\circ$ 和 $135^\circ$ ，所以最小的有界区域是半径为 $2$ 的圆的一个 $90^\circ$ 扇形。其面积为 $\frac{90^\circ}{360^\circ}\pi(2)^2=\pi\text{。}$

因此，正确答案是 C。

The two rays meet the circle at angles $45^\circ$ and $135^\circ,$ so the smallest bounded region is a $90^\circ$ sector of the radius- $2$ circle. Its area is $\frac{90^\circ}{360^\circ}\pi(2)^2=\pi.$

Therefore, the correct answer is C.

9.

$\sqrt[3]{4}$ 与 $\sqrt[4]{8}$ 的乘积等于

The product of $\sqrt[3]{4}$ and $\sqrt[4]{8}$ equals

$\sqrt[7]{12}$

$2\sqrt[7]{12}$

$\sqrt[7]{32}$

$\sqrt[12]{32}$

$2\sqrt[12]{32}$

知识点：根式指数代数变形

难度评级：1590

小提示：

把两个被开方数都写成 $2$ 的幂

Rewrite both radicands as powers of $2$

大提示：

将指数 $\frac23$ 与 $\frac34$ 相加，再分离出整数部分

Add the exponents $\frac23$ and $\frac34$ , then separate the integer part

解答：

把两个根式都写成 $2$ 的幂，得到 $\begin{aligned} 4^{\frac{1}{3}}8^{\frac{1}{4}} &=2^{\frac{2}{3}}2^{\frac{3}{4}}\\ &=2^{\frac{17}{12}}\\ &=2\sqrt[12]{2^5}\\ &=2\sqrt[12]{32} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Writing both radicals as powers of $2$ gives $\begin{aligned} 4^{\frac{1}{3}}8^{\frac{1}{4}} &=2^{\frac{2}{3}}2^{\frac{3}{4}}\\ &=2^{\frac{17}{12}}\\ &=2\sqrt[12]{2^5}\\ &=2\sqrt[12]{32}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

10.

正六边形 $P_1P_2P_3P_4P_5P_6$ 的边心距（从中心到一条边中点的距离）为 $2$ 。对于 $i=1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ ，点 $Q_i$ 是边 $P_iP_{i+1}$ 的中点。四边形 $Q_1Q_2Q_3Q_4$ 的面积是

If $P_1P_2P_3P_4P_5P_6$ is a regular hexagon whose apothem (distance from the center to the midpoint of a side) is $2,$ and $Q_i$ is the midpoint of side $P_iP_{i+1}$ for $i=1,$ $2,$ $3,$ $4,$ then the area of quadrilateral $Q_1Q_2Q_3Q_4$ is

$6$

$2\sqrt6$

$\frac{8\sqrt3}{3}$

$3\sqrt3$

$4\sqrt3$

知识点：正多边形等边三角形面积分割

难度评级：1780

小提示：

各点 $Q_i$ 位于一个半径等于该边心距的圆上

The points $Q_i$ lie on a circle of radius equal to the apothem

大提示：

把中心与连续四条边的中点相连，再分割这个四边形

Join the center to the four consecutive side midpoints and decompose the quadrilateral

解答：

设 $O$ 为中心。相邻的边心距 $OQ_i$ 与 $OQ_{i+1}$ 长度均为 $2$ ，夹角为 $60^\circ$ ，所以每个 $\triangle OQ_iQ_{i+1}$ 都是边长为 $2$ 的等边三角形。该四边形由三个这样的三角形组成，因此面积为 $3\left(\frac{\sqrt3}{4}\cdot2^2\right)=3\sqrt3\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Let $O$ be the center. Consecutive apothems $OQ_i$ and $OQ_{i+1}$ have length $2$ and form a $60^\circ$ angle, so each $\triangle OQ_iQ_{i+1}$ is equilateral of side $2.$ The quadrilateral is the union of three such triangles, and hence has area $3\left(\frac{\sqrt3}{4}\cdot2^2\right)=3\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is D.

11.

求下列方程的一个正整数解： $\frac{\substack{1+3+5+\cdots\\{}+(2n-1)}} {\substack{2+4+6+\cdots\\{}+2n}}=\frac{115}{116}\text{。}$

Find a positive integral solution to the equation $\frac{\substack{1+3+5+\cdots\\{}+(2n-1)}} {\substack{2+4+6+\cdots\\{}+2n}}=\frac{115}{116}.$

$110$

$115$

$116$

$231$

这个方程没有正整数解。

The equation has no positive integral solutions.

知识点：前n个奇数之和求和一次方程

难度评级：1540

小提示：

使用前 $n$ 个正奇数之和与前 $n$ 个正偶数之和

Use the sums of the first $n$ odd and first $n$ even positive integers

大提示：

这个分数可化简为 $\frac{n}{n+1}$

The fraction simplifies to $\frac{n}{n+1}$

解答：

分子为 $n^2$ ，分母为 $n(n+1)$ 。因而 $\frac{n}{n+1}=\frac{115}{116}\text{，}$ 即 $116n=115n+115$ ，所以 $n=115$ 。

因此，正确答案是 B。

The numerator is $n^2,$ and the denominator is $n(n+1).$ Thus $\frac{n}{n+1}=\frac{115}{116},$ which gives $116n=115n+115,$ so $n=115.$

Therefore, the correct answer is B.

12.

在右图中， $CD$ 是以 $O$ 为圆心的半圆的直径。点 $A$ 位于 $DC$ 经过 $C$ 后的延长线上；点 $E$ 位于半圆上，点 $B$ 是线段 $AE$ 与半圆除 $E$ 以外的另一个交点。若线段 $AB$ 与 $OD$ 等长，且 $\angle EOD$ 的度数为 $45^\circ$ ，则 $\angle BAO$ 的度数为

In the adjoining figure, $CD$ is the diameter of a semicircle with center $O.$ Point $A$ lies on the extension of $DC$ past $C;$ point $E$ lies on the semicircle, and $B$ is the point of intersection (distinct from $E$ ) of line segment $AE$ with the semicircle. If length $AB$ equals length $OD,$ and the measure of $\angle EOD$ is $45^\circ,$ then the measure of $\angle BAO$ is

$10^\circ$

$15^\circ$

$20^\circ$

$25^\circ$

$30^\circ$

知识点：圆等腰三角形导角

难度评级：1980

小提示：

令 $y=\angle BAO$ ，并利用 $AB=OB=OE$

Let $y=\angle BAO$ and use $AB=OB=OE$

大提示：

利用等腰三角形和 $45^\circ$ 的圆心角，用两种方式表示 $\angle BOE$

Express $\angle BOE$ in two ways using the isosceles triangles and the $45^\circ$ central angle

解答：

令 $y=\angle BAO$ 。因为 $AB=OB$ ，所以 $\angle AOB=y$ ，从而 $\angle EBO=2y$ 。又因为 $OB=OE$ ，所以 $\angle BEO=2y$ ，且 $\angle BOE=180^\circ-4y$ 。另一方面， $\angle BOD=180^\circ-y\text{，}$ 所以 $\angle BOE=135^\circ-y$ 。因此 $180^\circ-4y=135^\circ-y$ ，解得 $y=15^\circ$ 。

因此，正确答案是 B。

Let $y=\angle BAO.$ Since $AB=OB,$ $\angle AOB=y,$ so $\angle EBO=2y.$ Also $OB=OE,$ hence $\angle BEO=2y$ and $\angle BOE=180^\circ-4y.$ On the other hand, $\angle BOD=180^\circ-y,$ so $\angle BOE=135^\circ-y.$ Therefore $180^\circ-4y=135^\circ-y,$ giving $y=15^\circ.$

Therefore, the correct answer is B.

13.

不等式 $y-x\lt\sqrt{x^2}$ 成立的充分必要条件是

The inequality $y-x\lt\sqrt{x^2}$ is satisfied if and only if

$y\lt0$ 或 $y\lt2x$ （或两个不等式都成立）

$y\lt0$ or $y\lt2x$ (or both inequalities hold)

$y\gt0$ 或 $y\lt2x$ （或两个不等式都成立）

$y\gt0$ or $y\lt2x$ (or both inequalities hold)

$y^2\lt2xy$

$y\lt0$

$x\gt0$ 且 $y\lt2x$

$x\gt0$ and $y\lt2x$

知识点：绝对值不等式分类讨论

难度评级：1650

小提示：

把 $\sqrt{x^2}$ 换成 $|x|$

Replace $\sqrt{x^2}$ by $|x|$

大提示：

分别讨论 $x\ge0$ 与 $x\lt0$ 两种情形，再合并所得区域

Separate the cases $x\ge0$ and $x\lt0$ , then combine the resulting regions

解答：

当 $x\ge0$ 时，不等式化为 $y-x\lt x$ ，即 $y\lt2x$ 。当 $x\lt0$ 时，不等式化为 $y-x\lt-x$ ，即 $y\lt0$ 。合并两种情形，恰好得到 $y\lt0$ 或 $y\lt2x$ ，两者可以同时成立。

因此，正确答案是 A。

If $x\ge0,$ the inequality becomes $y-x\lt x,$ or $y\lt2x.$ If $x\lt0,$ it becomes $y-x\lt-x,$ or $y\lt0.$ Combining the two cases gives exactly $y\lt0$ or $y\lt2x,$ with overlap allowed.

Therefore, the correct answer is A.

14.

在某个数列中，第一项是 $1$ ，并且对于所有 $n\ge2$ ，前 $n$ 项的乘积为 $n^2$ 。该数列的第三项与第五项之和为

In a certain sequence of numbers, the first number is $1,$ and, for all $n\ge2,$ the product of the first $n$ numbers in the sequence is $n^2.$ The sum of the third and the fifth numbers in the sequence is

$\frac{25}{9}$

$\frac{31}{15}$

$\frac{61}{16}$

$\frac{576}{225}$

$34$

知识点：代数变形分数找规律

难度评级：1590

小提示：

用前 $n$ 项的乘积除以前 $n-1$ 项的乘积

Divide the product of the first $n$ terms by the product of the first $n-1$ terms

大提示：

这样便可直接把第 $n$ 项表示成两个平方数之比

This gives the $n$ th term directly as a ratio of two squares

解答：

当 $n\ge2$ 时，第 $n$ 项为 $a_n=\frac{n^2}{(n-1)^2}\text{。}$ 所以 $a_3=\frac{9}{4}$ ，且 $a_5=\frac{25}{16}$ ，两者之和为 $\frac{36}{16}+\frac{25}{16}=\frac{61}{16}$ 。

因此，正确答案是 C。

For $n\ge2,$ the $n$ th term is $a_n=\frac{n^2}{(n-1)^2}.$ Therefore $a_3=\frac{9}{4}$ and $a_5=\frac{25}{16},$ whose sum is $\frac{36}{16}+\frac{25}{16}=\frac{61}{16}.$

Therefore, the correct answer is C.

15.

两个完全相同的罐子里装有酒精溶液，其中一个罐子中酒精与水的体积比为 $p:1$ ，另一个罐子中为 $q:1$ 。把两罐中的全部溶液混合后，混合液中酒精与水的体积比为

Two identical jars are filled with alcohol solutions, the ratio of the volume of alcohol to the volume of water being $p:1$ in one jar and $q:1$ in the other jar. If the entire contents of the two jars are mixed together, the ratio of the volume of alcohol to the volume of water in the mixture is

$\frac{p+q}{2}$

$\frac{p^2+q^2}{p+q}$

$\frac{2pq}{p+q}$

$\frac{2(p^2+pq+q^2)}{3(p+q)}$

$\frac{p+q+2pq}{p+q+2}$

知识点：混合问题比与比例分数

难度评级：1860

小提示：

给两个罐子设定相同的总体积，再把每个比值换算成酒精和水各占的比例

Assign the same total volume to each jar and convert each ratio to alcohol and water fractions

大提示：

分别把两罐中的酒精量和水量相加，再求它们的比

Add the two alcohol amounts and the two water amounts before forming their ratio

解答：

两罐总体积相等时，酒精所占比例分别为 $\frac{p}{p+1}$ 和 $\frac{q}{q+1}$ ，水所占比例分别为 $\frac{1}{p+1}$ 和 $\frac{1}{q+1}$ 。因而酒精与水的体积比为 $\frac{\frac p{p+1}+\frac q{q+1}} {\frac1{p+1}+\frac1{q+1}} =\frac{p+q+2pq}{p+q+2}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

For equal total volumes, the alcohol fractions are $\frac{p}{p+1}$ and $\frac{q}{q+1},$ while the water fractions are $\frac{1}{p+1}$ and $\frac{1}{q+1}.$ Their ratio is $\frac{\frac p{p+1}+\frac q{q+1}} {\frac1{p+1}+\frac1{q+1}} =\frac{p+q+2pq}{p+q+2}.$

Therefore, the correct answer is E.

16.

面积为 $A_1$ 的圆位于一个面积为 $A_1+A_2$ 的大圆内部。若大圆的半径为 $3$ ，且 $A_1$ 、 $A_2$ 、 $A_1+A_2$ 成等差数列，则小圆的半径为

A circle with area $A_1$ is contained in the interior of a larger circle with area $A_1+A_2.$ If the radius of the larger circle is $3,$ and if $A_1,$ $A_2,$ $A_1+A_2$ is an arithmetic progression, then the radius of the smaller circle is

$\frac{\sqrt3}{2}$

$1$

$\frac2{\sqrt3}$

$\frac32$

$\sqrt3$

知识点：圆面积等差数列代数变形

难度评级：1590

小提示：

利用等差数列中间项的条件列出三个面积的关系

Use the middle-term condition for the three areas in arithmetic progression

大提示：

把大圆的面积表示成 $A_1$ 的倍数

Express the larger circle’s area as a multiple of $A_1$

解答：

等差数列条件给出 $2A_2=A_1+(A_1+A_2)\text{，}$ 因此 $A_2=2A_1$ 。所以大圆面积为 $3A_1=9\pi$ ，从而 $A_1=3\pi$ 。若小圆半径为 $r$ ，则 $\pi r^2=3\pi$ ，所以 $r=\sqrt3$ 。

因此，正确答案是 E。

The progression condition gives $2A_2=A_1+(A_1+A_2),$ so $A_2=2A_1.$ Hence the larger area is $3A_1=9\pi,$ and $A_1=3\pi.$ If the smaller radius is $r,$ then $\pi r^2=3\pi,$ so $r=\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is E.

17.

互不相同的点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 按此顺序位于同一直线上。线段 $AB$ 、 $AC$ 和 $AD$ 的长度分别为 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 。若线段 $AB$ 与 $CD$ 可分别绕点 $B$ 与 $C$ 旋转，使点 $A$ 与 $D$ 重合并形成一个面积为正的三角形，则下列三个不等式中哪些必须成立？ $\begin{aligned} &\text{I. }x\lt\frac z2\\ &\text{II. }y\lt x+\frac z2\\ &\text{III. }y\lt\frac z2 \end{aligned}$

Points $A,$ $B,$ $C,$ and $D$ are distinct and lie, in the given order, on a straight line. Line segments $AB,$ $AC,$ and $AD$ have lengths $x,$ $y,$ and $z,$ respectively. If line segments $AB$ and $CD$ may be rotated about points $B$ and $C,$ respectively, so that points $A$ and $D$ coincide, to form a triangle with positive area, then which of the following three inequalities must be satisfied? $\begin{aligned} &\text{I. }x\lt\frac z2\\ &\text{II. }y\lt x+\frac z2\\ &\text{III. }y\lt\frac z2 \end{aligned}$

仅 $\mathrm{I}$

$\mathrm{I}$ only

仅 $\mathrm{II}$

$\mathrm{II}$ only

仅 $\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{II}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{II}$ only

仅 $\mathrm{II}$ 和 $\mathrm{III}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ only

$\mathrm{I}$ 、 $\mathrm{II}$ 和 $\mathrm{III}$

$\mathrm{I},$ $\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$

知识点：三角不等式分类讨论逻辑推理

难度评级：2040

小提示：

旋转后，找出新三角形三条边的长度

After the rotations, identify the three side lengths of the new triangle

大提示：

对 $x$ 、 $y-x$ 和 $z-y$ 应用三个严格的三角形不等式

Apply all three strict triangle inequalities to $x,$ $y-x,$ and $z-y$

解答：

新三角形的三条边长为 $x$ 、 $y-x$ 和 $z-y$ 。由三角形不等式， $\begin{aligned} x&\lt(y-x)+(z-y),\\ &\Longrightarrow x\lt \frac{z}{2};\\ y-x&\lt x+(z-y),\\ &\Longrightarrow y\lt x+\frac{z}{2};\\ z-y&\lt x+(y-x),\\ &\Longrightarrow y\gt \frac{z}{2} \end{aligned}\text{。}$ 因此，I 与 II 必须成立，而 III 必须不成立。

因此，正确答案是 C。

The new triangle has side lengths $x,$ $y-x,$ and $z-y.$ Its triangle inequalities give $\begin{aligned} x&\lt(y-x)+(z-y),\\ &\Longrightarrow x\lt \frac{z}{2};\\ y-x&\lt x+(z-y),\\ &\Longrightarrow y\lt x+\frac{z}{2};\\ z-y&\lt x+(y-x),\\ &\Longrightarrow y\gt \frac{z}{2}. \end{aligned}$ Thus I and II must hold, while III must fail.

Therefore, the correct answer is C.

18.

精确到千分位， $\log_{10}2$ 为 $0.301$ ， $\log_{10}3$ 为 $0.477$ 。下列哪个数最接近 $\log_5 10$ ？

To the nearest thousandth, $\log_{10}2$ is $0.301$ and $\log_{10}3$ is $0.477.$ Which of the following is the best approximation of $\log_5 10?$

$\frac87$

$\frac97$

$\frac{10}{7}$

$\frac{11}{7}$

$\frac{12}{7}$

知识点：对数估算分数

难度评级：1540

小提示：

利用 $\log_{10}5=1-\log_{10}2$

Use $\log_{10}5=1-\log_{10}2$

大提示：

使用换底公式，再将所得小数与五个分数比较

Apply change of base, then compare the decimal result with the five fractions

解答：

我们有 $\log_{10}5\approx1-0.301=0.699$ 。因此， $\begin{aligned} \log_5 10&=\frac1{\log_{10}5}\\ &\approx\frac1{0.699}\\ &\approx1.431 \end{aligned}\text{。}$ 在各选项中， $\frac{10}{7}\approx1.429$ 最接近。

因此，正确答案是 C。

We have $\log_{10}5\approx1-0.301=0.699.$ Therefore $\begin{aligned} \log_5 10&=\frac1{\log_{10}5}\\ &\approx\frac1{0.699}\\ &\approx1.431. \end{aligned}$ Of the choices, $\frac{10}{7}\approx1.429$ is closest.

Therefore, the correct answer is C.

19.

求所有满足方程 $x^{256}-256^{32}=0$ 的实数的平方和。

Find the sum of the squares of all real numbers satisfying the equation $x^{256}-256^{32}=0.$

$8$

$128$

$512$

$65{,}536$

$2(256^{32})$

知识点：指数完全幂零积性质

难度评级：1650

小提示：

把 $256^{32}$ 改写成指数为 $256$ 的幂

Rewrite $256^{32}$ as a single power with exponent $256$

大提示：

求出哪两个实数的 $256$ 次幂等于 $2^{256}$

Determine the two real values whose $256$ th powers equal $2^{256}$

解答：

因为 $256=2^8$ ，所以 $256^{32}=2^{256}\text{。}$ 因此 $(\frac{x}{2})^{256}=1$ 。实数解为 $x=2$ 和 $x=-2$ ，它们的平方和为 $4+4=8$ 。

因此，正确答案是 A。

Since $256=2^8,$ $256^{32}=2^{256}.$ Thus $(\frac{x}{2})^{256}=1.$ The real solutions are $x=2$ and $x=-2,$ and the sum of their squares is $4+4=8.$

Therefore, the correct answer is A.

20.

若 $a=\frac12$ 且 $(a+1)(b+1)=2$ ，则 $\operatorname{Arctan}a+\operatorname{Arctan}b$ 的弧度数等于

If $a=\frac12$ and $(a+1)(b+1)=2,$ then the radian measure of $\operatorname{Arctan}a+\operatorname{Arctan}b$ equals

$\frac\pi2$

$\frac\pi3$

$\frac\pi4$

$\frac\pi5$

$\frac\pi6$

知识点：三角恒等式代数变形

难度评级：1780

小提示：

先由所给乘积等式解出 $b$

First solve the given product equation for $b$

大提示：

对两个正的反正切角使用正切加法公式

Use the tangent addition formula on the two positive inverse-tangent angles

解答：

代入 $a=\frac{1}{2}$ ，得到 $b=\frac{1}{3}$ 。令 $u=\operatorname{Arctan}a$ ， $v=\operatorname{Arctan}b$ ，则 $\begin{aligned} \tan(u+v)&=\frac{a+b}{1-ab}\\ &=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{6}}\\ &=1 \end{aligned}\text{。}$ 两个角都为正，且它们的和小于 $\frac{\pi}{2}$ ，所以 $u+v=\frac{\pi}{4}$ 。

因此，正确答案是 C。

Substituting $a=\frac{1}{2}$ gives $b=\frac{1}{3}.$ If $u=\operatorname{Arctan}a$ and $v=\operatorname{Arctan}b,$ then $\begin{aligned} \tan(u+v)&=\frac{a+b}{1-ab}\\ &=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{6}}\\ &=1. \end{aligned}$ Both angles are positive and their sum is less than $\frac{\pi}{2},$ so $u+v=\frac{\pi}{4}.$

Therefore, the correct answer is C.

21.

一个直角三角形的斜边长为 $h$ ，其内切圆半径为 $r$ 。圆的面积与三角形面积之比为

The length of the hypotenuse of a right triangle is $h,$ and the radius of the inscribed circle is $r.$ The ratio of the area of the circle to the area of the triangle is

$\frac{\pi r}{h+2r}$

$\frac{\pi r}{h+r}$

$\frac{\pi r}{2h+r}$

$\frac{\pi r^2}{h^2+r^2}$

以上都不是

none of these

知识点：直角三角形内切圆、内心与内切圆半径三角形面积

难度评级：1870

小提示：

使用三角形面积公式 $K=rs$

Use the formula $K=rs$ for a triangle’s area

大提示：

对于直角三角形，把两条直角边之和用 $h$ 与 $r$ 表示

For a right triangle, relate the sum of the legs to $h$ and $r$

解答：

若两条直角边长为 $x$ 和 $y$ ，则直角三角形的内切圆半径恒等式为 $x+y=h+2r$ 。因此半周长为 $s=\frac{x+y+h}{2}=h+r\text{。}$ 三角形的面积为 $rs=r(h+r)$ ，圆的面积为 $\pi r^2$ 。两者之比为 $\frac{\pi r}{h+r}$ 。

因此，正确答案是 B。

If the legs are $x$ and $y,$ then the right-triangle inradius identity is $x+y=h+2r.$ Hence the semiperimeter is $s=\frac{x+y+h}{2}=h+r.$ The triangle’s area is $rs=r(h+r),$ while the circle’s area is $\pi r^2.$ Their ratio is $\frac{\pi r}{h+r}.$

Therefore, the correct answer is B.

22.

求满足下列方程的整数对 $(m,n)$ 的个数： $\begin{aligned} m^3+6m^2+5m &=27n^3+9n^2\\ &\quad+9n+1 \end{aligned}\text{。}$

Find the number of pairs $(m,n)$ of integers which satisfy the equation $\begin{aligned} m^3+6m^2+5m &=27n^3+9n^2\\ &\quad+9n+1. \end{aligned}$

$0$

$1$

$3$

$9$

无穷多个

infinitely many

知识点：整除性模运算因式分解

难度评级：1860

小提示：

把左边因式分解为 $m(m+1)(m+5)$

Factor the left side as $m(m+1)(m+5)$

大提示：

比较等式两边模 $3$ 的余数

Compare the two sides modulo $3$

解答：

左边等于 $\begin{gathered} m(m+1)(m+5)\\ =m(m+1)(m+2)\\ \quad+3m(m+1) \end{gathered}\text{，}$ 对每个整数 $m$ 都能被 $3$ 整除。右边为 $3(9n^3+3n^2+3n)+1$ ，与 $1\pmod3$ 同余。因此不存在满足方程的整数对。

因此，正确答案是 A。

The left side is $\begin{gathered} m(m+1)(m+5)\\ =m(m+1)(m+2)\\ \quad+3m(m+1), \end{gathered}$ which is divisible by $3$ for every integer $m.$ The right side is $3(9n^3+3n^2+3n)+1,$ which is congruent to $1\pmod3.$ Therefore no integer pair satisfies the equation.

Therefore, the correct answer is A.

23.

正四面体的顶点为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和 $D$ ，每条棱的长度都是一。点 $P$ 位于棱 $AB$ 上，点 $Q$ 位于棱 $CD$ 上。求 $P$ 与 $Q$ 之间距离的最小可能值。

The edges of a regular tetrahedron with vertices $A,$ $B,$ $C,$ and $D$ each have length one. Find the least possible distance between a pair of points $P$ and $Q,$ where $P$ is on edge $AB$ and $Q$ is on edge $CD.$

$\frac12$

$\frac34$

$\frac{\sqrt2}{2}$

$\frac{\sqrt3}{2}$

$\frac{\sqrt3}{3}$

知识点：立体几何距离公式最优化

难度评级：2100

小提示：

用顶点为 $(\pm1,\pm1,\pm1)$ 的对称坐标表示正四面体

Use symmetric coordinates for a regular tetrahedron with vertices $(\pm1,\pm1,\pm1)$

大提示：

参数化两条对棱上的点，并使距离的平方最小

Parameterize points on the two opposite edges and minimize the squared distance

解答：

缩放之前，取 $\begin{aligned} A&=(1,1,1),\\ B&=(1,-1,-1),\\ C&=(-1,1,-1),\\ D&=(-1,-1,1) \end{aligned}\text{。}$ 这些棱的长度为 $2\sqrt2$ ，所以按比例因子 $\frac{1}{2\sqrt2}$ 缩放。 $AB$ 和 $CD$ 上的点可分别写成 $P=(1,t,t)$ 和 $Q=(-1,u,-u)$ 。缩放前， $\begin{aligned} PQ^2&=4+(t-u)^2+(t+u)^2\\ &=4+2t^2+2u^2 \end{aligned}\text{，}$ 在 $t=u=0$ 时取最小值。缩放后，最小距离的平方为 $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ ，所以距离为 $\frac{\sqrt2}{2}$ 。

因此，正确答案是 C。

Before scaling, take $\begin{aligned} A&=(1,1,1),\\ B&=(1,-1,-1),\\ C&=(-1,1,-1),\\ D&=(-1,-1,1). \end{aligned}$ These edges have length $2\sqrt2,$ so scale by $\frac{1}{2\sqrt2}.$ Points on $AB$ and $CD$ have forms $P=(1,t,t)$ and $Q=(-1,u,-u).$ Before scaling, $\begin{aligned} PQ^2&=4+(t-u)^2+(t+u)^2\\ &=4+2t^2+2u^2, \end{aligned}$ minimized at $t=u=0.$ After scaling, the minimum squared distance is $\frac{4}{8}=\frac{1}{2},$ so the distance is $\frac{\sqrt2}{2}.$

Therefore, the correct answer is C.

24.

若一个多边形不自交，则称其为“简单”多边形。简单四边形 $ABCD$ 的边 $AB$ 、 $BC$ 和 $CD$ 的长度分别为 $4$ 、 $5$ 和 $20$ 。若顶点 $B$ 和 $C$ 处的内角均为钝角，且 $\sin C=-\cos B=\frac35$ ，则边 $AD$ 的长度为多少？

A polygon is called “simple” if it is not self-intersecting. Sides $AB,$ $BC,$ and $CD$ of simple quadrilateral $ABCD$ have lengths $4,$ $5,$ and $20,$ respectively. If vertex angles $B$ and $C$ are obtuse and $\sin C=-\cos B=\frac35,$ then side $AD$ has length

$24$

$24.5$

$24.6$

$24.8$

$25$

知识点：坐标几何三角学距离公式

难度评级：2040

小提示：

取 $B=(0,0)$ 、 $C=(5,0)$ ，再利用钝角所确定的符号

Place $B=(0,0)$ and $C=(5,0)$ , then use the signs forced by the obtuse angles

大提示：

根据 $3$ - $4$ - $5$ 的比例确定 $A$ 与 $D$ 的坐标

Determine coordinates for $A$ and $D$ from the $3$ - $4$ - $5$ ratios

解答：

取 $B=(0,0)$ 和 $C=(5,0)$ 。因为 $B$ 为钝角且 $-\cos B=\frac{3}{5}$ ，可取 $\begin{aligned} A&=4(-\frac{3}{5},\frac{4}{5})\\ &=(-\frac{12}{5},\frac{16}{5}) \end{aligned}\text{。}$ 简单四边形的构型以及 $C$ 处的钝角给出 $\begin{aligned} D&=C+20(\frac{4}{5},\frac{3}{5})\\ &=(21,12) \end{aligned}\text{。}$ 因此， $\begin{aligned} AD&=\sqrt{\begin{gathered} (21+\frac{12}{5})^2\\ {}+(12-\frac{16}{5})^2 \end{gathered}}\\ &=\sqrt{(\frac{117}{5})^2+(\frac{44}{5})^2}\\ &=25 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Put $B=(0,0)$ and $C=(5,0).$ Since $B$ is obtuse and $-\cos B=\frac{3}{5},$ we may take $\begin{aligned} A&=4(-\frac{3}{5},\frac{4}{5})\\ &=(-\frac{12}{5},\frac{16}{5}). \end{aligned}$ The simple configuration and the obtuse angle at $C$ give $\begin{aligned} D&=C+20(\frac{4}{5},\frac{3}{5})\\ &=(21,12). \end{aligned}$ Thus $\begin{aligned} AD&=\sqrt{\begin{gathered} (21+\frac{12}{5})^2\\ {}+(12-\frac{16}{5})^2 \end{gathered}}\\ &=\sqrt{(\frac{117}{5})^2+(\frac{44}{5})^2}\\ &=25. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

25.

用 $x+\frac12$ 除多项式 $x^8$ 时，商与余数分别为 $q_1(x)$ 和 $r_1$ ；再用 $x+\frac12$ 除 $q_1(x)$ 时，商与余数分别为 $q_2(x)$ 和 $r_2$ 。那么 $r_2$ 等于

If $q_1(x)$ and $r_1$ are the quotient and remainder, respectively, when the polynomial $x^8$ is divided by $x+\frac12,$ and if $q_2(x)$ and $r_2$ are the quotient and remainder, respectively, when $q_1(x)$ is divided by $x+\frac12,$ then $r_2$ equals

$\frac1{256}$

$-\frac1{16}$

$1$

$-16$

$256$

知识点：多项式因式分解换元法

难度评级：2040

小提示：

令 $a=-\frac12$ ，利用 $x^8-a^8$ 表示第一次相除所得的商

Let $a=-\frac12$ and express the first quotient using $x^8-a^8$

大提示：

在 $x=a$ 处对 $q_1(x)$ 应用余式定理

Apply the remainder theorem to $q_1(x)$ at $x=a$

解答：

令 $a=-\frac{1}{2}$ 。因为第一次相除的余数为 $a^8$ ，所以 $\begin{aligned} q_1(x)&=\frac{x^8-a^8}{x-a}\\ &=x^7+ax^6+\cdots+a^7 \end{aligned}\text{。}$ 因此第二次相除的余数为 $\begin{aligned} q_1(a)&=8a^7\\ &=8(-\frac{1}{2})^7\\ &=-\frac{1}{16} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

Let $a=-\frac{1}{2}.$ Since the first remainder is $a^8,$ $\begin{aligned} q_1(x)&=\frac{x^8-a^8}{x-a}\\ &=x^7+ax^6+\cdots+a^7. \end{aligned}$ Therefore the second remainder is $\begin{aligned} q_1(a)&=8a^7\\ &=8(-\frac{1}{2})^7\\ &=-\frac{1}{16}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

26.

函数 $f$ 对每一对实数 $x$ 、 $y$ 都满足函数方程 $f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1\text{。}$ 若 $f(1)=1$ ，则满足 $n\ne1$ 且 $f(n)=n$ 的整数有多少个？

The function $f$ satisfies the functional equation $f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1$ for every pair $x,$ $y$ of real numbers. If $f(1)=1,$ then the number of integers $n\ne1$ for which $f(n)=n$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

无穷多个

infinite

知识点：函数方程递推二次方程

难度评级：2200

小提示：

令一个变量等于 $1$ ，得到整数自变量相邻两项的递推关系

Set one variable equal to $1$ to get a recurrence for consecutive integer inputs

大提示：

先求 $f(0)$ ，再利用递推关系求出所有整数自变量对应的函数值，最后令 $f(n)=n$

Find $f(0)$ , solve the recurrence for all integers, and then impose $f(n)=n$

解答：

令 $x=1$ ，得到 $f(y+1)-f(y)=y+2$ 。令 $x=y=0$ ，得到 $f(0)=-1$ 。向两个方向延拓递推关系，可得对每个整数 $n$ ， $f(n)=\frac{n^2+3n-2}{2}\text{。}$ 因而 $f(n)=n$ 等价于 $\begin{aligned} n^2+n-2&=(n+2)(n-1)\\ &=0 \end{aligned}\text{。}$ 整数解为 $n=-2$ 和 $n=1$ ，排除 $1$ 后恰好剩一个。

因此，正确答案是 B。

Setting $x=1$ gives $f(y+1)-f(y)=y+2.$ Setting $x=y=0$ gives $f(0)=-1.$ Extending the recurrence in both directions yields, for every integer $n,$ $f(n)=\frac{n^2+3n-2}{2}.$ Thus $f(n)=n$ is equivalent to $\begin{aligned} n^2+n-2&=(n+2)(n-1)\\ &=0. \end{aligned}$ The integer solutions are $n=-2$ and $n=1,$ and after excluding $1$ exactly one remains.

Therefore, the correct answer is B.

27.

从所有整数有序对 $(b,c)$ 中等可能地随机选取一对，其中两个整数的绝对值都不超过五。方程 $x^2+bx+c=0$ 没有两个不同的正实根的概率是多少？

An ordered pair $(b,c)$ of integers, each of which has absolute value less than or equal to five, is chosen at random, with each such ordered pair having an equal likelihood of being chosen. What is the probability that the equation $x^2+bx+c=0$ will not have distinct positive real roots?

$\frac{106}{121}$

$\frac{108}{121}$

$\frac{110}{121}$

$\frac{112}{121}$

以上都不是

none of these

知识点：二次方程对立事件概率系统列举

难度评级：2200

小提示：

有两个不同的正实根要求 $b\lt0$ 、 $c\gt0$ 且 $b^2\gt4c$

Distinct positive roots require $b\lt0,$ $c\gt0,$ and $b^2\gt4c$

大提示：

分别计算 $b=-1$ 、 $b=-2$ 、 $\ldots$ 、 $b=-5$ 时符合条件的 $c$ 的个数，再从 $121$ 对中取补集

Count the qualifying $c$ values for each $b=-1,$ $b=-2,$ $\ldots,$ $b=-5,$ then take the complement among $121$ pairs

解答：

共有 $11^2=121$ 个有序对。要有两个不同的正实根，必须有 $b\lt0$ 、 $c\gt0$ 且 $b^2\gt4c$ 。当 $b=-1$ 和 $b=-2$ 时没有可选值；当 $b=-3$ 、 $b=-4$ 和 $b=-5$ 时，分别有 $2$ 、 $3$ 和 $5$ 个可选的 $c$ 。因此只有 $10$ 个有序对会产生两个不同的正实根，所求概率为 $1-\frac{10}{121}=\frac{111}{121}\text{，}$ 该数不在选项中。

因此，正确答案是 E。

There are $11^2=121$ ordered pairs. Distinct positive roots require $b\lt0,$ $c\gt0,$ and $b^2\gt4c.$ For $b=-1$ and $b=-2$ there are no choices; for $b=-3,$ $b=-4,$ and $b=-5$ there are respectively $2,$ $3,$ and $5$ choices of $c.$ Thus only $10$ pairs produce distinct positive roots, so the requested probability is $1-\frac{10}{121}=\frac{111}{121},$ which is not listed.

Therefore, the correct answer is E.

28.

以 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 为圆心的三个圆半径均为 $r$ ，其中 $1\lt r\lt2$ 。任意两个圆心之间的距离都是 $2$ 。设 $B'$ 是圆 $A$ 与圆 $C$ 位于圆 $B$ 外部的交点， $C'$ 是圆 $A$ 与圆 $B$ 位于圆 $C$ 外部的交点，则 $B'C'$ 的长度等于

Circles with centers $A,$ $B,$ and $C$ each have radius $r,$ where $1\lt r\lt2.$ The distance between each pair of centers is $2.$ If $B'$ is the point of intersection of circle $A$ and circle $C$ which is outside circle $B,$ and if $C'$ is the point of intersection of circle $A$ and circle $B$ which is outside circle $C,$ then length $B'C'$ equals

$3r-2$

$r^2$

$r+\sqrt{3(r-1)}$

$1+\sqrt{3(r^2-1)}$

以上都不是

none of these

知识点：圆等边三角形相似对称性

难度评级：2200

小提示：

引入位于圆 $A$ 外部的类似点 $A'$ ；由对称性， $A'B'C'$ 是等边三角形

Introduce the analogous point $A'$ outside circle $A$ ; symmetry makes $A'B'C'$ equilateral

大提示：

利用共同的重心以及边长为 $r$ 、 $r$ 和 $2$ 的等腰三角形的高 $\sqrt{r^2-1}$

Use the common centroid and the altitude $\sqrt{r^2-1}$ of an isosceles triangle with sides $r,$ $r,$ and $2$

解答：

设 $A'$ 为以 $B$ 和 $C$ 为圆心的两圆在外侧的对应交点。那么 $A'B'C'$ 与 $ABC$ 是同心的等边三角形。设 $K$ 为它们的共同重心， $M$ 为 $BC$ 的中点，则 $\begin{aligned} A'M&=\sqrt{r^2-1},\\ MK&=\frac{\sqrt3}{3},\\ AK&=\frac{2\sqrt3}{3} \end{aligned}\text{。}$ 由相似性， $\begin{aligned} \frac{B'C'}2&=\frac{A'K}{AK}\\ &=\frac{\sqrt{r^2-1}+\frac{\sqrt3}{3}} {\frac{2\sqrt3}{3}} \end{aligned}\text{。}$ 因此 $B'C'=1+\sqrt{3(r^2-1)}$ 。

因此，正确答案是 D。

Let $A'$ be the analogous outer intersection of the circles centered at $B$ and $C.$ Then $A'B'C'$ and $ABC$ are concentric equilateral triangles. If $K$ is their common centroid and $M$ is the midpoint of $BC,$ then $\begin{aligned} A'M&=\sqrt{r^2-1},\\ MK&=\frac{\sqrt3}{3},\\ AK&=\frac{2\sqrt3}{3}. \end{aligned}$ Similarity gives $\begin{aligned} \frac{B'C'}2&=\frac{A'K}{AK}\\ &=\frac{\sqrt{r^2-1}+\frac{\sqrt3}{3}} {\frac{2\sqrt3}{3}}. \end{aligned}$ Hence $B'C'=1+\sqrt{3(r^2-1)}.$

Therefore, the correct answer is D.

29.

对于每个正数 $x$ ，定义 $f(x)= \frac{\begin{gathered} \left(x+\frac1x\right)^6\\ {}-\left(x^6+\frac1{x^6}\right)-2 \end{gathered}} {\begin{gathered} \left(x+\frac1x\right)^3\\ {}+\left(x^3+\frac1{x^3}\right) \end{gathered}}\text{。}$ 则 $f(x)$ 的最小值为

For each positive number $x,$ let $f(x)= \frac{\begin{gathered} \left(x+\frac1x\right)^6\\ {}-\left(x^6+\frac1{x^6}\right)-2 \end{gathered}} {\begin{gathered} \left(x+\frac1x\right)^3\\ {}+\left(x^3+\frac1{x^3}\right) \end{gathered}}.$ The minimum value of $f(x)$ is

$1$

$2$

$3$

$4$

$6$

知识点：代数变形平方差算术-几何平均不等式

难度评级：2100

小提示：

令 $t=x+\frac{1}{x}$ ，并把 $x^3+x^{-3}$ 表示成 $t$ 的式子

Set $t=x+\frac{1}{x}$ and write $x^3+x^{-3}$ in terms of $t$

大提示：

把分子因式分解为平方差，再利用 $x+\frac{1}{x}\ge2$

Factor the numerator as a difference of squares, then use $x+\frac{1}{x}\ge2$

解答：

令 $t=x+\frac{1}{x}$ ， $u=x^3+x^{-3}=t^3-3t$ 。因为 $x^6+x^{-6}=u^2-2$ ，所以分子为 $\begin{aligned} t^6-u^2&=(t^3-u)(t^3+u)\\ &=3t(t^3+u) \end{aligned}\text{。}$ 分母为 $t^3+u$ ，所以 $f(x)=3t=3(x+\frac{1}{x})$ 。当 $x\gt0$ 时， $x+\frac{1}{x}\ge2$ ，且在 $x=1$ 时取等号。因此最小值为 $6$ 。

因此，正确答案是 E。

Let $t=x+\frac{1}{x}$ and $u=x^3+x^{-3}=t^3-3t.$ Since $x^6+x^{-6}=u^2-2,$ the numerator is $\begin{aligned} t^6-u^2&=(t^3-u)(t^3+u)\\ &=3t(t^3+u). \end{aligned}$ The denominator is $t^3+u,$ so $f(x)=3t=3(x+\frac{1}{x}).$ For $x\gt0,$ $x+\frac{1}{x}\ge2,$ with equality at $x=1.$ Thus the minimum is $6.$

Therefore, the correct answer is E.

30.

在 $\triangle ABC$ 中， $E$ 是边 $BC$ 的中点， $D$ 位于边 $AC$ 上。若 $AC$ 的长度为 $1$ ，且 $\angle BAC=60^\circ$ 、 $\angle ABC=100^\circ$ 、 $\angle ACB=20^\circ$ 、 $\angle DEC=80^\circ$ ，则 $\triangle ABC$ 的面积加上 $\triangle CDE$ 面积的两倍等于

In $\triangle ABC,$ $E$ is the midpoint of side $BC$ and $D$ is on side $AC.$ If the length of $AC$ is $1$ and $\angle BAC=60^\circ,$ $\angle ABC=100^\circ,$ $\angle ACB=20^\circ,$ and $\angle DEC=80^\circ,$ then the area of $\triangle ABC$ plus twice the area of $\triangle CDE$ equals

$\frac14\cos10^\circ$

$\frac{\sqrt3}{8}$

$\frac14\cos40^\circ$

$\frac14\cos50^\circ$

$\frac18$

知识点：三角形面积全等（几何）相似等边三角形

难度评级：2200

小提示：

延长 $AB$ 至 $F$ ，使 $AF=AC$ ，从而构造等边三角形

Extend $AB$ to $F$ so that $AF=AC$ , creating an equilateral triangle

大提示：

在 $BF$ 上取点 $G$ ，使 $\angle BCG=20^\circ$ ；比较 $\triangle BCG$ 与 $\triangle DCE$

Choose $G$ on $BF$ with $\angle BCG=20^\circ$ ; compare $\triangle BCG$ with $\triangle DCE$

解答：

将 $AB$ 经过 $B$ 延长至 $F$ ，使 $AF=AC=1$ 。则 $\triangle ACF$ 为等边三角形。在 $BF$ 上取点 $G$ ，使 $\angle BCG=20^\circ$ 。由角度条件可得 $\triangle FGC\cong\triangle ABC$ ，且 $\triangle BCG\sim\triangle DCE$ 。因为 $E$ 是 $BC$ 的中点，所以相似比为 $2$ ，从而 $[BCG]=4[CDE]\text{。}$ 分割这个等边三角形可得 $\frac{\sqrt3}{4} =2[ABC]+4[CDE]\text{。}$ 两边除以 $2$ ，得到 $[ABC]+2[CDE]=\frac{\sqrt3}{8}$ 。

因此，正确答案是 B。

Extend $AB$ through $B$ to $F$ with $AF=AC=1.$ Then $\triangle ACF$ is equilateral. Choose $G$ on $BF$ so that $\angle BCG=20^\circ.$ The angle conditions give $\triangle FGC\cong\triangle ABC,$ while $\triangle BCG\sim\triangle DCE.$ Since $E$ is the midpoint of $BC,$ the similarity scale is $2,$ so $[BCG]=4[CDE].$ Decomposing the equilateral triangle gives $\frac{\sqrt3}{4} =2[ABC]+4[CDE].$ Dividing by $2$ yields $[ABC]+2[CDE]=\frac{\sqrt3}{8}.$

Therefore, the correct answer is B.