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2005 AMC 12B 第 19 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

19.

设 xx 和 yy 为两位整数，且 yy 是把 xx 的数字反过来得到的。整数 xx 和 yy 满足 x2−y2=m2x^2 - y^2 = m^2，其中 mm 为正整数。x+y+mx + y + m 是多少？

Let xx and yy be two-digit integers such that yy is obtained by reversing the digits of x.x. The integers xx and yy satisfy x2−y2=m2x^2 - y^2 = m^2 for some positive integer m.m. What is x+y+m?x + y + m?

8888

112112

116116

144144

154154

答案：E
知识点：数字平方差完全平方数
难度评级：1840
小提示：

写 x=10a+bx = 10a + b、y=10b+ay = 10b + a；则 x2−y2=99(a2−b2)x^2 - y^2 = 99(a^2 - b^2)。

Write x=10a+bx = 10a + b and y=10b+ay = 10b + a; then x2−y2=99(a2−b2)x^2 - y^2 = 99(a^2 - b^2)

大提示：

若 99(a−b)(a+b)99(a-b)(a+b) 是完全平方数，则 a+ba+b 必须为 1111。

For 99(a−b)(a+b)99(a-b)(a+b) to be a perfect square, a+ba+b must be 1111

解答：

设 x=10a+bx = 10a + b、y=10b+ay = 10b + a，其中 a>ba \gt b。则 x2−y2=(10a+b)2−(10b+a)2=99(a2−b2)=99(a+b)(a−b)。 \begin{aligned} &x^2 - y^2 = (10a+b)^2 \\ &\quad {}- (10b+a)^2 \\ &= 99(a^2 - b^2) \\ &= 99(a+b)(a-b) \end{aligned}\text{。}

因为 99=9⋅1199 = 9 \cdot 11，要使它成为完全平方数，必须有 (a+b)(a−b)(a+b)(a-b) 是 1111 的倍数。由于 a+b≤17a + b \le 17，且 a−b≤8a - b \le 8，可用的唯一 1111 的倍数是 a+b=11a + b = 11。

此时 x2−y2=9⋅112(a−b)x^2 - y^2 = 9 \cdot 11^2 (a - b)，它为完全平方数，当且仅当 a−ba - b 是完全平方数。因为 a+b=11a+b=11 是奇数，所以 a−ba-b 是奇数；又因为 1≤a−b≤81 \le a-b \le 8，唯一可能的平方值为 11。因此 (a,b)=(6,5)(a, b) = (6, 5)。

所以 x=65x = 65，y=56y = 56，且 m=652−562m = \sqrt{65^2 - 56^2} =1089=33= \sqrt{1089} = 33。因此 x+y+mx + y + m =65+56+33=154= 65 + 56 + 33 = 154。

所以正确答案是 E。

Let x=10a+bx = 10a + b and y=10b+ay = 10b + a with a>b.a \gt b. Then x2−y2=(10a+b)2−(10b+a)2=99(a2−b2)=99(a+b)(a−b). \begin{aligned} &x^2 - y^2 = (10a+b)^2 \\ &\quad {}- (10b+a)^2 \\ &= 99(a^2 - b^2) \\ &= 99(a+b)(a-b). \end{aligned}

Since 99=9⋅11,99 = 9 \cdot 11, for this to be a perfect square we need (a+b)(a−b)(a+b)(a-b) to be a multiple of 11.11. As a+b≤17a + b \le 17 and a−b≤8,a - b \le 8, the only multiple of 1111 available is a+b=11.a + b = 11.

Then x2−y2=9⋅112(a−b),x^2 - y^2 = 9 \cdot 11^2 (a - b), which is a perfect square exactly when a−ba - b is a perfect square. Because a+b=11a+b=11 is odd, a−ba-b is odd; and because 1≤a−b≤8,1 \le a-b \le 8, its only possible square value is 1.1. Hence (a,b)=(6,5).(a, b) = (6, 5).

So x=65,x = 65, y=56,y = 56, and m=652−562m = \sqrt{65^2 - 56^2} =1089=33.= \sqrt{1089} = 33. Thus x+y+mx + y + m =65+56+33=154.= 65 + 56 + 33 = 154.

Thus, the correct answer is E.

第 18 题#18
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第 20 题#20

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