Question

在一个有 $N$ 名选手的比赛中，被授予精英身份的选手人数等于 $2^{1 + \lfloor \log_2 (N - 1) \rfloor} - N\text{。}$ 假设有 $19$ 名选手被授予精英身份。 $N$ 的两个最小可能值之和是多少？

注： $\lfloor x \rfloor$ 是小于或等于 $x$ 的最大整数。

At a competition with $N$ players, the number of players given elite status is equal to $2^{1 + \lfloor \log_2 (N - 1) \rfloor} - N.$ Suppose that $19$ players are given elite status. What is the sum of the two smallest possible values of $N?$

Note: $\lfloor x \rfloor$ is the greatest integer less than or equal to $x.$

$38$

$90$

$154$

$406$

$1024$

答案：C

知识点：取整函数 2的幂分类讨论

难度评级：2150

小提示：

令 $m = \lfloor \log_2 (N-1) \rfloor$ ，则 $N = 2^{m+1} - 19$

Let $m = \lfloor \log_2 (N-1) \rfloor,$ so $N = 2^{m+1} - 19$

大提示：

为了使这个 $m$ 一致，需有 $2^m \le N - 1$ ，这迫使 $2^m \ge 20$

For that $m$ to be consistent, $2^m \le N - 1,$ which forces $2^m \ge 20$

解答：

令 $m = \lfloor \log_2 (N - 1) \rfloor$ ，则精英人数为 $2^{m+1} - N = 19$ ，得 $N = 2^{m+1} - 19$ 。

一致性要求 $2^m \le N - 1 = 2^{m+1} - 20$ ，即 $2^m \ge 20$ ，所以 $m \ge 5$ 。

两个最小选择是 $m = 5$ ，给出 $N = 64 - 19 = 45$ ，以及 $m = 6$ ，给出 $N = 128 - 19 = 109$ 。它们的和为 $154$ 。

因此，正确答案是 C。

Let $m = \lfloor \log_2 (N - 1) \rfloor,$ so the elite count is $2^{m+1} - N = 19,$ giving $N = 2^{m+1} - 19.$

Consistency requires $2^m \le N - 1 = 2^{m+1} - 20,$ i.e. $2^m \ge 20,$ so $m \ge 5.$

The two smallest choices are $m = 5$ giving $N = 64 - 19 = 45,$ and $m = 6$ giving $N = 128 - 19 = 109.$ Their sum is $154.$

Thus, the correct answer is C.

2011 AMC 12A 第 19 题

答案：C

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题