Question

令 $f(x) = ax^2 + bx + c$ ，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 是整数。假设 $f(1) = 0$ 、 $50 \lt f(7) \lt 60$ 、 $70 \lt f(8) \lt 80$ ，并且对某个整数 $k$ ，有 $5000k \lt f(100) \lt 5000(k+1)$ 。求 $k$ 。

Let $f(x) = ax^2 + bx + c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are integers. Suppose that $f(1) = 0,$ $50 \lt f(7) \lt 60,$ $70 \lt f(8) \lt 80,$ and $5000k \lt f(100) \lt 5000(k+1)$ for some integer $k.$ What is $k?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：C

知识点：二次方程方程组极限情形界定

难度评级：2030

小提示：

由 $f(1) = 0$ ，得 $c = -a - b$ ，所以 $f(7) = 6(8a + b)$ 且 $f(8) = 7(9a + b)$

From $f(1) = 0,$ $c = -a - b,$ so $f(7) = 6(8a + b)$ and $f(8) = 7(9a + b)$

大提示：

这些范围迫使 $8a + b = 9$ 且 $9a + b = 11$

The bounds force $8a + b = 9$ and $9a + b = 11$

解答：

因为 $f(1) = a + b + c = 0$ ，所以 $c = -a - b$ 。因此 $f(7) = 48a + 6b = 6(8a + b)\text{，}$ $f(8) = 63a + 7b = 7(9a + b)\text{。}$

由 $50 \lt 6(8a + b) \lt 60$ 得 $8a + b = 9$ ，由 $70 \lt 7(9a + b) \lt 80$ 得 $9a + b = 11$ 。相减得 $a = 2$ ，进而 $b = -7$ ， $c = 5$ 。

所以 $f(100) = 20000 - 700 + 5$ $= 19305$ ，它满足 $5000 \cdot 3 \lt 19305 \lt 5000 \cdot 4$ ，因此 $k = 3$ 。

因此，正确答案是 C。

Since $f(1) = a + b + c = 0,$ we have $c = -a - b.$ Then $f(7) = 48a + 6b = 6(8a + b),$ $f(8) = 63a + 7b = 7(9a + b).$

From $50 \lt 6(8a + b) \lt 60$ we get $8a + b = 9,$ and from $70 \lt 7(9a + b) \lt 80$ we get $9a + b = 11.$ Subtracting, $a = 2,$ then $b = -7$ and $c = 5.$

So $f(100) = 20000 - 700 + 5$ $= 19305,$ which lies in $5000 \cdot 3 \lt 19305 \lt 5000 \cdot 4,$ giving $k = 3.$

Thus, the correct answer is C.

2011 AMC 12A 第 20 题

答案：C

难度评级：2030

小提示：

大提示：

解答：

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