Question

凸四边形 $ABCD$ 满足 $AB = 9$ 且 $CD = 12$ 。对角线 $AC$ 和 $BD$ 交于 $E$ ， $AC = 14$ ，且 $\triangle AED$ 与 $\triangle BEC$ 面积相等。求 $AE$ ？

Convex quadrilateral $ABCD$ has $AB = 9$ and $CD = 12.$ Diagonals $AC$ and $BD$ intersect at $E,$ $AC = 14,$ and $\triangle AED$ and $\triangle BEC$ have equal areas. What is $AE?$

$\dfrac{9}{2}$

$\dfrac{50}{11}$

$\dfrac{21}{4}$

$\dfrac{17}{3}$

$6$

答案：E

知识点：平行线相似面积比

难度评级：1930

小提示：

$\triangle AED$ 和 $\triangle BEC$ 面积相等，推出 $\triangle ACD$ 和 $\triangle BCD$ 面积相等。

Equal areas of $\triangle AED$ and $\triangle BEC$ imply $\triangle ACD$ and $\triangle BCD$ have equal areas

大提示：

这迫使 $AB \parallel CD$ ，于是 $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ ，相似比为 $\dfrac{9}{12}$ 。

That forces $AB \parallel CD,$ making $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ with ratio $\dfrac{9}{12}$

解答：

在 $\triangle AED$ 和 $\triangle BEC$ 两边都加上 $\triangle CED$ ，可知 $\triangle ACD$ 与 $\triangle BCD$ 面积相等。它们共用底边 $CD$ ，所以 $A$ 和 $B$ 到直线 $CD$ 的距离相等，意味着 $AB \parallel CD$ 。

因此 $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ ，相似比为 $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$ ，所以 $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{3}{4}$ 。

设 $AE = 3x$ 且 $EC = 4x$ ，则 $7x = AC = 14$ ，所以 $x = 2$ ， $AE = 6$ 。

因此，正确答案是 E。

Adding $\triangle CED$ to each of $\triangle AED$ and $\triangle BEC$ shows $\triangle ACD$ and $\triangle BCD$ have equal areas. They share base $CD,$ so $A$ and $B$ are equidistant from line $CD,$ meaning $AB \parallel CD.$

Then $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ with ratio $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4},$ so $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{3}{4}.$

Writing $AE = 3x$ and $EC = 4x,$ we get $7x = AC = 14,$ so $x = 2$ and $AE = 6.$

Thus, the correct answer is E.

2009 AMC 12A 第 20 题

答案：E

难度评级：1930

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题