Question

若 $a=\frac12$ 且 $(a+1)(b+1)=2$ ，则 $\operatorname{Arctan}a+\operatorname{Arctan}b$ 的弧度数等于

If $a=\frac12$ and $(a+1)(b+1)=2,$ then the radian measure of $\operatorname{Arctan}a+\operatorname{Arctan}b$ equals

$\frac\pi2$

$\frac\pi3$

$\frac\pi4$

$\frac\pi5$

$\frac\pi6$

答案：C

知识点：三角恒等式代数变形

难度评级：1780

小提示：

先由所给乘积等式解出 $b$

First solve the given product equation for $b$

大提示：

对两个正的反正切角使用正切加法公式

Use the tangent addition formula on the two positive inverse-tangent angles

解答：

代入 $a=\frac{1}{2}$ ，得到 $b=\frac{1}{3}$ 。令 $u=\operatorname{Arctan}a$ ， $v=\operatorname{Arctan}b$ ，则 $\begin{aligned} \tan(u+v)&=\frac{a+b}{1-ab}\\ &=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{6}}\\ &=1 \end{aligned}\text{。}$ 两个角都为正，且它们的和小于 $\frac{\pi}{2}$ ，所以 $u+v=\frac{\pi}{4}$ 。

因此，正确答案是 C。

Substituting $a=\frac{1}{2}$ gives $b=\frac{1}{3}.$ If $u=\operatorname{Arctan}a$ and $v=\operatorname{Arctan}b,$ then $\begin{aligned} \tan(u+v)&=\frac{a+b}{1-ab}\\ &=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{6}}\\ &=1. \end{aligned}$ Both angles are positive and their sum is less than $\frac{\pi}{2},$ so $u+v=\frac{\pi}{4}.$

Therefore, the correct answer is C.

1979 AMC 12 第 20 题

答案：C

难度评级：1780

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题