Question

$R$ 点与 $S$ 点相距 $76$ 英里。两人分别从这两点同时出发，相向而行。从 $R$ 点出发的人始终以每小时 $4\dfrac12$ 英里的速度行走；从 $S$ 点出发的人第一小时以每小时 $3\dfrac14$ 英里的速度行走，第二小时以每小时 $3\dfrac34$ 英里的速度行走，之后各小时的速度依次成等差数列。若两人在整数小时后相遇，且相遇点到 $R$ 点比到 $S$ 点近 $x$ 英里，则 $x$ 是：

Two men at points $R$ and $S,$ $76$ miles apart, set out at the same time to walk towards each other. The man at $R$ walks uniformly at $4\dfrac12$ miles per hour; the man at $S$ walks at $3\dfrac14$ miles per hour for the first hour, at $3\dfrac34$ miles per hour for the second hour, and so on, in arithmetic progression. If the men meet $x$ miles nearer $R$ than $S$ in an integral number of hours, then $x$ is:

$10$

$8$

$6$

$4$

$2$

答案：D

知识点：等差数列求和路程、速度与时间

难度评级：1920

小提示：

设相遇时间为整数 $h$ 小时，并求第二个人每小时路程的等差数列之和

Let the integral meeting time be $h$ hours and sum the second man’s hourly distances

大提示：

两人路程之和的方程化简为 $h^2+30h-304=0$

Their combined distance equation simplifies to $h^2+30h-304=0$

解答：

在 $h$ 小时内，第一个人走了 $\frac{9h}{2}$ 英里。第二个人走过的路程是等差数列之和 $\begin{aligned} &\frac h2\left(2\cdot\frac{13}{4} +(h-1)\frac12\right)\\ &\qquad=3h+\frac{h^2}{4} \end{aligned}\text{。}$ 两人的路程之和为 $76$ ，得到 $h^2+30h-304=0$ ，其正根为 $h=8$ 。他们分别走了 $36$ 英里和 $40$ 英里，因此相遇点到 $R$ 点比到 $S$ 点近 $4$ 英里。

所以正确答案是 D。

In $h$ hours the first man walks $\frac{9h}{2}.$ The second walks an arithmetic-series total $\begin{aligned} &\frac h2\left(2\cdot\frac{13}{4} +(h-1)\frac12\right)\\ &\qquad=3h+\frac{h^2}{4}. \end{aligned}$ Their distances sum to $76,$ giving $h^2+30h-304=0,$ whose positive root is $h=8.$ They walk $36$ and $40$ miles, so the meeting point is $4$ miles nearer $R$ than $S.$

Thus, the correct answer is D.

1963 AMC 12 第 20 题

答案：D

难度评级：1920

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题