Question

直线 $HK$ 和 $BC$ 位于同一平面内。 $M$ 是线段 $BC$ 的中点，且 $BH$ 和 $CK$ 都垂直于 $HK$ 。则：

Lines $HK$ and $BC$ lie in a plane. $M$ is the midpoint of line segment $BC,$ and $BH$ and $CK$ are perpendicular to $HK.$ Then we:

总有 $MH=MK$

always have $MH=MK$

总有 $MH\gt BK$

always have $MH\gt BK$

有时 $MH=MK$ ，但并非总是如此

sometimes have $MH=MK$ but not always

总有 $MH\gt MB$

always have $MH\gt MB$

总有 $BH\lt BC$

always have $BH\lt BC$

答案：A

知识点：坐标几何中点垂直平分线

难度评级：1790

小提示：

将 $HK$ 放在 $x$ 轴上

Put $HK$ on the $x$ -axis

大提示：

取 $H=(h,0)$ 、 $B=(h,u)$ 、 $K=(k,0)$ 、 $C=(k,v)$ ；比较从它们中点出发的距离平方

Use $H=(h,0),$ $B=(h,u),$ $K=(k,0),$ and $C=(k,v)$ ; compare squared distances from their midpoint

解答：

选取坐标 $\begin{gathered} H=(h,0),\quad B=(h,u),\\ K=(k,0),\quad C=(k,v) \end{gathered}\text{。}$ 则 $M=\left(\frac{h+k}{2},\frac{u+v}{2}\right)\text{。}$ 从 $M$ 到 $H$ 与 $K$ 的水平位移互为相反数，而竖直位移相等。因此 $MH^2=MK^2$ ，所以总有 $MH=MK$ 。

因此，正确答案是 A。

Choose coordinates $\begin{gathered} H=(h,0),\quad B=(h,u),\\ K=(k,0),\quad C=(k,v). \end{gathered}$ Then $M=\left(\frac{h+k}{2},\frac{u+v}{2}\right).$ The horizontal displacements from $M$ to $H$ and $K$ are opposites, while the vertical displacements are equal. Therefore $MH^2=MK^2,$ so $MH=MK$ always.

Therefore, the correct answer is A.

1970 AMC 12 第 20 题

答案：A

难度评级：1790

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题