1970 AMC 12 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt1}}$ 的四次方是：

The fourth power of $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt1}}$ is:

$\sqrt2+\sqrt3$

$\tfrac12(7+3\sqrt5)$

$1+2\sqrt3$

$3$

$3+2\sqrt2$

知识点：根式指数代数变形

难度评级：1740

小提示：

从最内层根式开始，由内向外化简

Simplify from the innermost radical outward

大提示：

最内层根式化为 $1$ 后，将 $\sqrt{1+\sqrt2}$ 连续平方两次

After the innermost radical becomes $1,$ square $\sqrt{1+\sqrt2}$ twice

解答：

最内层根式为 $\sqrt1=1$ ，所以所给的数是 $\sqrt{1+\sqrt2}$ 。它的四次方为 $\begin{aligned} (1+\sqrt2)^2&=1+2\sqrt2+2\\ &=3+2\sqrt2 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

The innermost radical is $\sqrt1=1,$ so the given number is $\sqrt{1+\sqrt2}.$ Its fourth power is $\begin{aligned} (1+\sqrt2)^2&=1+2\sqrt2+2\\ &=3+2\sqrt2. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

2.

一个正方形和一个圆的周长相等。圆的面积与正方形面积之比是：

A square and a circle have equal perimeters. The ratio of the area of the circle to the area of the square is:

$\frac{4}{\pi}$

$\frac{\pi}{\sqrt2}$

$\frac{4}{1}$

$\frac{\sqrt2}{\pi}$

$\frac{\pi}{4}$

知识点：圆面积圆周长面积比正方形（几何）

难度评级：1560

小提示：

设它们共同的周长为 $p$

Let the common perimeter be $p$

大提示：

用 $p$ 分别表示圆的半径和正方形的边长，再将两个面积相除

Express the circle radius and square side in terms of $p$ , then divide their areas

解答：

若共同的周长为 $p$ ，则圆的半径为 $\frac{p}{2\pi}$ ，正方形的边长为 $\frac{p}{4}$ 。因此 $\frac{\pi\left(\frac{p}{2\pi}\right)^2}{\left(\frac p4\right)^2} =\frac{\frac{p^2}{4\pi}}{\frac{p^2}{16}}=\frac4\pi\text{。}$

因此，正确答案是 A。

If the common perimeter is $p,$ then the circle has radius $\frac{p}{2\pi}$ and the square has side $\frac{p}{4}.$ Therefore $\frac{\pi\left(\frac{p}{2\pi}\right)^2}{\left(\frac p4\right)^2} =\frac{\frac{p^2}{4\pi}}{\frac{p^2}{16}}=\frac4\pi.$

Therefore, the correct answer is A.

3.

若 $x=1+2^p$ ，且 $y=1+2^{-p}$ ，则用 $x$ 表示 $y$ 为：

If $x=1+2^p$ and $y=1+2^{-p},$ then $y$ in terms of $x$ is:

$\dfrac{x+1}{x-1}$

$\dfrac{x+2}{x-1}$

$\dfrac{x}{x-1}$

$2-x$

$\dfrac{x-1}{x}$

知识点：指数换元法分式方程

难度评级：1360

小提示：

由第一个方程解出 $2^p$

Solve the first equation for $2^p$

大提示：

利用 $2^{-p}=\frac{1}{2^p}$ ，并化简 $1+\frac{1}{x-1}$

Use $2^{-p}=\frac{1}{2^p}$ and simplify $1+\frac{1}{x-1}$

解答：

由 $x=1+2^p$ 得 $2^p=x-1$ ，所以 $\begin{aligned} y&=1+2^{-p}\\ &=1+\frac1{x-1}=\frac{x}{x-1} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

From $x=1+2^p$ we get $2^p=x-1,$ so $\begin{aligned} y&=1+2^{-p}\\ &=1+\frac1{x-1}=\frac{x}{x-1}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

4.

设 $S$ 为所有可表示成三个连续整数的平方和的数所组成的集合。则有：

Let $S$ be the set of all numbers which are the sum of the squares of three consecutive integers. Then we can say that:

$S$ 中没有元素能被 $2$ 整除

No member of $S$ is divisible by $2$

$S$ 中没有元素能被 $3$ 整除，但有元素能被 $11$ 整除

No member of $S$ is divisible by $3$ but some member is divisible by $11$

$S$ 中没有元素能被 $3$ 或 $5$ 整除

No member of $S$ is divisible by $3$ or by $5$

$S$ 中没有元素能被 $3$ 或 $7$ 整除

No member of $S$ is divisible by $3$ or by $7$

以上都不对

None of these

知识点：模运算整除性代数变形

难度评级：1760

小提示：

将三个整数写成 $n-1,n,n+1$

Write the integers as $n-1,n,n+1$

大提示：

它们的平方和是 $3n^2+2$ ；先对模 $3$ 考察，再检验一个模 $11$ 的余数

Their squared sum is $3n^2+2;$ examine it modulo $3$ and test a residue modulo $11$

解答：

这个和为 $\begin{gathered} (n-1)^2+n^2+(n+1)^2\\ =3n^2+2 \end{gathered}\text{。}$ 它总是同余于 $2\pmod3$ ，所以 $S$ 中没有元素能被 $3$ 整除。另一方面，取 $n=5$ 时得到 $3(25)+2=77$ ，它能被 $11$ 整除。

因此，正确答案是 B。

The sum is $\begin{gathered} (n-1)^2+n^2+(n+1)^2\\ =3n^2+2. \end{gathered}$ It is always congruent to $2\pmod3,$ so no member of $S$ is divisible by $3.$ On the other hand, taking $n=5$ gives $3(25)+2=77,$ which is divisible by $11.$

Therefore, the correct answer is B.

5.

若 $f(x)=\dfrac{x^4+x^2}{x+1}$ ，其中 $i=\sqrt{-1}$ ，则 $f(i)$ 等于：

If $f(x)=\dfrac{x^4+x^2}{x+1},$ then $f(i),$ where $i=\sqrt{-1},$ is equal to:

$1+i$

$1$

$-1$

$0$

$-1-i$

知识点：复数指数函数

难度评级：1560

小提示：

利用 $i^2=-1$ 和 $i^4=1$

Use $i^2=-1$ and $i^4=1$

大提示：

分子为零，而分母不为零

The numerator vanishes while the denominator does not

解答：

因为 $i^2=-1$ ，且 $i^4=1$ ，所以 $f(i)=\frac{i^4+i^2}{i+1}=\frac{1-1}{i+1}=0\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Because $i^2=-1$ and $i^4=1,$ $f(i)=\frac{i^4+i^2}{i+1}=\frac{1-1}{i+1}=0.$

Therefore, the correct answer is D.

6.

当 $x$ 取实数时， $x^2+8x$ 的最小值是：

The smallest value of $x^2+8x$ for real values of $x$ is:

$-16.25$

$-16$

$-15$

$-8$

以上都不对

None of these

知识点：配方法二次方程不等式

难度评级：1360

小提示：

配方

Complete the square

大提示：

将式子改写成 $(x+4)^2-16$

Rewrite the expression as $(x+4)^2-16$

解答：

配方可得 $x^2+8x=(x+4)^2-16\text{。}$ 因为 $(x+4)^2\ge0$ ，所以当 $x=-4$ 时取得最小值 $-16$ 。

因此，正确答案是 B。

Completing the square gives $x^2+8x=(x+4)^2-16.$ Since $(x+4)^2\ge0,$ the minimum occurs at $x=-4$ and equals $-16.$

Therefore, the correct answer is B.

7.

在边长为 $s$ 的正方形 $ABCD$ 内，分别以 $A$ 和 $B$ 为圆心、以 $s$ 为半径画四分之一圆弧。两条圆弧在正方形内部交于点 $X$ 。点 $X$ 到边 $CD$ 的距离是多少？

Inside square $ABCD$ with side $s,$ quarter-circle arcs with radii $s$ and centers at $A$ and $B$ are drawn. These arcs intersect at a point $X$ inside the square. How far is $X$ from side $CD?$

$\tfrac12s(\sqrt3+4)$

$\tfrac12s\sqrt3$

$\tfrac12s(1+\sqrt3)$

$\tfrac12s(\sqrt3-1)$

$\tfrac12s(2-\sqrt3)$

知识点：等边三角形高线正方形（几何）圆

难度评级：1980

小提示：

两条连接到 $X$ 的半径与边 $AB$ 构成一个等边三角形

The two radii to $X$ and side $AB$ form an equilateral triangle

大提示：

从 $X$ 到 $AB$ 的高为 $\frac{s\sqrt3}{2}$ ；用正方形的高减去它

The altitude from $X$ to $AB$ is $\frac{s\sqrt3}{2}$ ; subtract it from the square’s height

解答：

因为 $AX=BX=AB=s$ ，所以三角形 $ABX$ 是等边三角形。因此 $X$ 到 $AB$ 的垂直距离为 $\frac{s\sqrt3}{2}$ 。平行边 $AB$ 与 $CD$ 之间的距离为 $s$ ，所以所求距离为 $s-\frac{s\sqrt3}{2}=\frac s2(2-\sqrt3)\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Since $AX=BX=AB=s,$ triangle $ABX$ is equilateral. Thus the perpendicular distance from $X$ to $AB$ is $\frac{s\sqrt3}{2}.$ The distance between the parallel sides $AB$ and $CD$ is $s,$ so the requested distance is $s-\frac{s\sqrt3}{2}=\frac s2(2-\sqrt3).$

Therefore, the correct answer is E.

8.

若 $a=\log_8 225$ ，且 $b=\log_2 15$ ，则：

If $a=\log_8 225$ and $b=\log_2 15,$ then:

$a=\frac{b}{2}$

$a=\frac{2b}{3}$

$a=b$

$b=\frac{a}{2}$

$a=\frac{3b}{2}$

知识点：对数指数代数变形

难度评级：1710

小提示：

将 $225$ 写成 $15^2$ ，将 $8$ 写成 $2^3$

Rewrite $225$ as $15^2$ and $8$ as $2^3$

大提示：

将两个对数都换成以 $2$ 为底

Convert both logarithms to base $2$

解答：

利用 $225=15^2$ 和 $8=2^3$ ，可得 $\begin{aligned} a&=\frac{\log_2(15^2)}{\log_2(2^3)}\\ &=\frac{2\log_2 15}{3}=\frac{2b}{3} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

Using $225=15^2$ and $8=2^3,$ $\begin{aligned} a&=\frac{\log_2(15^2)}{\log_2(2^3)}\\ &=\frac{2\log_2 15}{3}=\frac{2b}{3}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

9.

点 $P$ 和 $Q$ 在线段 $AB$ 上，且都位于 $AB$ 中点的同一侧。点 $P$ 将 $AB$ 按 $2:3$ 分割，点 $Q$ 将 $AB$ 按 $3:4$ 分割。若 $PQ=2$ ，则线段 $AB$ 的长度是：

Points $P$ and $Q$ are on line segment $AB,$ and both points are on the same side of the midpoint of $AB.$ Point $P$ divides $AB$ in the ratio $2:3,$ and $Q$ divides $AB$ in the ratio $3:4.$ If $PQ=2,$ then the length of segment $AB$ is:

$12$

$28$

$70$

$75$

$105$

知识点：比与比例一次方程

难度评级：1610

小提示：

将 $AP$ 和 $AQ$ 分别表示为 $AB$ 的一部分

Express $AP$ and $AQ$ as fractions of $AB$

大提示：

利用 $AP=\frac{2AB}{5}$ 和 $AQ=\frac{3AB}{7}$ ，再作差

Use $AP=\frac{2AB}{5}$ and $AQ=\frac{3AB}{7}$ , then subtract

解答：

由分割比可得 $AP=\frac25AB,\qquad AQ=\frac37AB\text{。}$ 因为两点位于中点的同一侧，所以 $\begin{aligned} PQ&=AQ-AP\\ &=\left(\frac37-\frac25\right)AB\\ &=\frac1{35}AB \end{aligned}\text{。}$ 由 $PQ=2$ 得 $AB=70$ 。

因此，正确答案是 C。

The division ratios give $AP=\frac25AB,\qquad AQ=\frac37AB.$ Because the two points are on the same side of the midpoint, $\begin{aligned} PQ&=AQ-AP\\ &=\left(\frac37-\frac25\right)AB\\ &=\frac1{35}AB. \end{aligned}$ Since $PQ=2,$ we obtain $AB=70.$

Therefore, the correct answer is C.

10.

设 $F=0.4818181\ldots$ 是数字 $8$ 和 $1$ 循环出现的无限循环小数。将 $F$ 写成最简分数后，分母比分子大：

Let $F=0.4818181\ldots$ be an infinite repeating decimal with the digits $8$ and $1$ repeating. When $F$ is written as a fraction in lowest terms, the denominator exceeds the numerator by:

$13$

$14$

$29$

$57$

$126$

知识点：循环小数等比数列分数

难度评级：1590

小提示：

将开头的 $0.4$ 与后面的循环部分分开

Separate the initial $0.4$ from the repeating tail

大提示：

循环部分为 $0.081(1+0.01+0.01^2+\cdots)$

The tail is $0.081(1+0.01+0.01^2+\cdots)$

解答：

我们有 $\begin{aligned} F&=0.4+0.081(1+0.01+\cdots)\\ &=\frac25+\frac{0.081}{0.99}\\ &=\frac25+\frac9{110}\\ &=\frac{53}{110} \end{aligned}\text{。}$ 分母比分子大 $110-53=57$ 。

因此，正确答案是 D。

We have $\begin{aligned} F&=0.4+0.081(1+0.01+\cdots)\\ &=\frac25+\frac{0.081}{0.99}\\ &=\frac25+\frac9{110}\\ &=\frac{53}{110}. \end{aligned}$ The denominator exceeds the numerator by $110-53=57.$

Therefore, the correct answer is D.

11.

若 $2x^3-hx+k$ 的两个因式为 $x+2$ 和 $x-1$ ，则 $|2h-3k|$ 的值为：

If two factors of $2x^3-hx+k$ are $x+2$ and $x-1,$ the value of $|2h-3k|$ is:

$4$

$3$

$2$

$1$

$0$

知识点：多项式换元法方程组

难度评级：1590

小提示：

分别在 $x=-2$ 和 $x=1$ 处应用因式定理

Apply the factor theorem at $x=-2$ and $x=1$

大提示：

解方程 $-16+2h+k=0$ 和 $2-h+k=0$

Solve $-16+2h+k=0$ and $2-h+k=0$

解答：

由因式定理可得 $\begin{aligned} -16+2h+k&=0,\\ 2-h+k&=0 \end{aligned}\text{。}$ 用第一个方程减去第二个方程，得到 $3h=18$ ，所以 $h=6$ ，进而 $k=4$ 。因此 $|2h-3k|=|12-12|=0\text{。}$

因此，正确答案是 E。

The factor theorem gives $\begin{aligned} -16+2h+k&=0,\\ 2-h+k&=0. \end{aligned}$ Subtracting the second equation from the first gives $3h=18,$ so $h=6$ and then $k=4.$ Hence $|2h-3k|=|12-12|=0.$

Therefore, the correct answer is E.

12.

一个半径为 $r$ 的圆与矩形 $ABCD$ 的边 $AB$ 、 $AD$ 和 $CD$ 相切，并经过对角线 $AC$ 的中点。用 $r$ 表示矩形的面积为：

A circle with radius $r$ is tangent to sides $AB,$ $AD,$ and $CD$ of rectangle $ABCD$ and passes through the midpoint of diagonal $AC.$ The area of the rectangle, in terms of $r,$ is:

$4r^2$

$6r^2$

$8r^2$

$12r^2$

$20r^2$

知识点：矩形相切圆中点面积

难度评级：2090

小提示：

圆与两条对边相切，所以矩形的一条边长为 $2r$

Tangency to the two opposite sides makes one side of the rectangle equal to $2r$

大提示：

从第三个切点经过圆心的直线平分对角线，使相应的弦成为直径

The line from the third tangency point through the center bisects the diagonal, making the corresponding chord a diameter

解答：

圆与平行边 $AB$ 和 $CD$ 相切。两边之间的距离就是圆的直径，所以 $AD=BC=2r$ 。设 $R$ 为 $AD$ 上的切点， $Q$ 为圆心， $M$ 为 $AC$ 的中点。

直线 $RQ$ 平行于 $AB$ ，并且位于 $AB$ 与 $CD$ 的正中间，所以 $R$ 是 $AD$ 的中点，且该直线经过 $M$ 。由于 $M$ 在圆上，且 $R,Q,M$ 共线，所以 $RM=2r$ 。因此 $RM$ 是三角形 $ADC$ 的中位线，从而 $DC=2RM=4r$ 。所以面积为 $(2r)(4r)=8r^2\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Let the circle be tangent to the parallel sides $AB$ and $CD.$ Their separation is its diameter, so $AD=BC=2r.$ Let $R$ be the tangency point on $AD,$ let $Q$ be the center, and let $M$ be the midpoint of $AC.$

The line $RQ$ is parallel to $AB$ and halfway between $AB$ and $CD,$ so $R$ is the midpoint of $AD$ and the line contains $M.$ Since $M$ lies on the circle and $R,Q,M$ are collinear, $RM=2r.$ Thus $RM$ is a midsegment of triangle $ADC,$ so $DC=2RM=4r.$ Therefore the area is $(2r)(4r)=8r^2.$

Therefore, the correct answer is C.

13.

对所有正数 $a$ 和 $b$ ，定义二元运算 $*$ 为 $a*b=a^b$ 。则对任意正数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $n$ ，恒有：

Given the binary operation $*$ defined by $a*b=a^b$ for all positive numbers $a$ and $b.$ Then for all positive $a,$ $b,$ $c,$ $n,$ we have:

$a*b=b*a$

$a*(b*c)=(a*b)*c$

$a*(b^n)=(a*n)*b$

$(a*b)^n=a*(bn)$

以上都不对

None of these

知识点：自定义运算指数代数变形

难度评级：1710

小提示：

先根据定义替换每个 $*$ ，再比较等式两边

Replace every $*$ using the definition before comparing the two sides

大提示：

对于选项 D，两边都化简成指数为 $bn$ 的幂

For choice D, both sides simplify to a power with exponent $bn$

解答：

对于选项 D， $\begin{aligned} (a*b)^n&=(a^b)^n=a^{bn},\\ a*(bn)&=a^{bn} \end{aligned}\text{。}$ 因此这个恒等式总是成立。其他选项会断言诸如 $a^b=b^a$ 或 $a^{b^c}=a^{bc}$ 之类并非恒成立的等式。

因此，正确答案是 D。

For choice D, $\begin{aligned} (a*b)^n&=(a^b)^n=a^{bn},\\ a*(bn)&=a^{bn}. \end{aligned}$ Thus that identity always holds. The other choices would assert false general identities such as $a^b=b^a$ or $a^{b^c}=a^{bc}.$

Therefore, the correct answer is D.

14.

考虑方程 $x^2+px+q=0$ ，其中 $p$ 和 $q$ 均为正数。若此方程的两根相差 $1$ ，则 $p$ 等于：

Consider $x^2+px+q=0,$ where $p$ and $q$ are positive numbers. If the roots of this equation differ by $1,$ then $p$ equals:

$\sqrt{4q+1}$

$q-1$

$-\sqrt{4q+1}$

$q+1$

$\sqrt{4q-1}$

知识点：二次方程韦达定理

难度评级：1670

小提示：

用求根公式表示两根之差

Use the quadratic formula to express the difference of the roots

大提示：

两根之差的绝对值为 $\sqrt{p^2-4q}$

The difference has magnitude $\sqrt{p^2-4q}$

解答：

两根之差的绝对值为 $\sqrt{p^2-4q}\text{。}$ 因此 $p^2-4q=1$ ，所以 $p^2=4q+1$ 。因为 $p$ 为正数，故 $p=\sqrt{4q+1}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

The two roots differ in absolute value by $\sqrt{p^2-4q}.$ Hence $p^2-4q=1,$ so $p^2=4q+1.$ Since $p$ is positive, $p=\sqrt{4q+1}.$

Therefore, the correct answer is A.

15.

在 $xy$ 平面内，过点 $(3,4)$ 与连接点 $(-4,5)$ 和 $(5,-1)$ 的线段的两个三等分点分别作直线。其中一条直线的方程是：

Lines in the $xy$ -plane are drawn through the point $(3,4)$ and the trisection points of the line segment joining the points $(-4,5)$ and $(5,-1).$ One of these lines has the equation:

$3x-2y-1=0$

$4x-5y+8=0$

$5x+2y-23=0$

$x+7y-31=0$

$x-4y+13=0$

知识点：坐标几何斜率一次方程

难度评级：1620

小提示：

沿位移向量分别移动三分之一和三分之二，求出两个三等分点

Find the two trisection points by moving one-third and two-thirds of the displacement vector

大提示：

三等分点为 $(-1,3)$ 和 $(2,1)$ ；求其中任一点与 $(3,4)$ 所确定的直线

The trisection points are $(-1,3)$ and $(2,1)$ ; find the line from either one to $(3,4)$

解答：

从 $(-4,5)$ 到 $(5,-1)$ 的位移为 $(9,-6)$ 。因此两个三等分点为 $(-4,5)+\tfrac13(9,-6)=(-1,3)$ 和 $(2,1)$ 。经过 $(-1,3)$ 和 $(3,4)$ 的直线斜率为 $\frac{1}{4}$ ，所以 $y-4=\frac14(x-3)\text{，}$ 即 $x-4y+13=0$ 。

因此，正确答案是 E。

The displacement from $(-4,5)$ to $(5,-1)$ is $(9,-6).$ The trisection points are therefore $(-4,5)+\tfrac13(9,-6)=(-1,3)$ and $(2,1).$ The line through $(-1,3)$ and $(3,4)$ has slope $\frac{1}{4},$ so $y-4=\frac14(x-3),$ or $x-4y+13=0.$

Therefore, the correct answer is E.

16.

若函数 $F(n)$ 满足 $F(1)=F(2)=F(3)=1$ ，并且当 $n\ge3$ 时， $F(n+1)=\frac{F(n)F(n-1)+1}{F(n-2)}$ 则 $F(6)$ 等于：

If $F(n)$ is a function such that $F(1)=F(2)=F(3)=1,$ and such that $F(n+1)=\frac{F(n)F(n-1)+1}{F(n-2)}$ for $n\ge3,$ then $F(6)$ is equal to:

$2$

$3$

$7$

$11$

$26$

知识点：递推函数换元法

难度评级：1450

小提示：

从 $F(4)$ 开始逐项计算

Compute the terms one at a time beginning with $F(4)$

大提示：

依次将 $n=3,4,5$ 代入递推式

Use the recurrence successively for $n=3,4,5$

解答：

依次应用递推式，得到 $\begin{aligned} F(4)&=\frac{1\cdot1+1}{1}=2,\\ F(5)&=\frac{2\cdot1+1}{1}=3 \end{aligned}\text{，}$ 以及 $F(6)=\frac{3\cdot2+1}{1}=7\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Applying the recurrence successively, $\begin{aligned} F(4)&=\frac{1\cdot1+1}{1}=2,\\ F(5)&=\frac{2\cdot1+1}{1}=3, \end{aligned}$ and $F(6)=\frac{3\cdot2+1}{1}=7.$

Therefore, the correct answer is C.

17.

若 $r\gt0$ ，则对所有满足 $pq\ne0$ 且 $pr\gt qr$ 的 $p$ 和 $q$ ，必有：

If $r\gt0,$ then for all $p$ and $q$ such that $pq\ne0$ and $pr\gt qr,$ we have:

$-p\gt-q$

$-p\gt q$

$1\gt-\frac{q}{p}$

$1\lt \frac{q}{p}$

以上都不对

None of these

知识点：不等式反例比与比例

难度评级：1850

小提示：

因为 $r\gt0$ ，题设条件只能推出 $p\gt q$

Because $r\gt0,$ the hypothesis gives only $p\gt q$

大提示：

分别取正数和负数的 $p,q$ ，检验其余结论

Test the remaining claims with both positive and negative choices of $p,q$

解答：

因为 $r\gt0$ ，题设条件等价于 $p\gt q$ 。于是 $-p\lt-q$ ，所以 A 错误。取 $(p,q)=(2,1)$ 可知 B 和 D 错误。取 $(p,q)=(1,-2)$ 时， $-\frac{q}{p}=2$ ，所以 C 错误。因此 A 至 D 中没有一个结论在所有情况下都成立。

因此，正确答案是 E。

Since $r\gt0,$ the hypothesis is equivalent to $p\gt q.$ Then $-p\lt-q,$ so A is false. Taking $(p,q)=(2,1)$ makes B and D false. Taking $(p,q)=(1,-2)$ makes C false because $-\frac{q}{p}=2.$ Thus none of A-D follows in every case.

Therefore, the correct answer is E.

18.

$\sqrt{3+2\sqrt2}-\sqrt{3-2\sqrt2}$ 等于：

$\sqrt{3+2\sqrt2}-\sqrt{3-2\sqrt2}$ is equal to:

$2$

$2\sqrt3$

$4\sqrt2$

$\sqrt6$

$2\sqrt2$

知识点：根式完全平方数代数变形

难度评级：1740

小提示：

将每个被开方数识别为二项式的平方

Recognize each radicand as a squared binomial

大提示：

利用 $3\pm2\sqrt2=(\sqrt2\pm1)^2$

Use $3\pm2\sqrt2=(\sqrt2\pm1)^2$

解答：

因为 $\begin{gathered} 3+2\sqrt2=(\sqrt2+1)^2,\\ 3-2\sqrt2=(\sqrt2-1)^2 \end{gathered}\text{，}$ 且 $\sqrt2+1$ 和 $\sqrt2-1$ 都为正数，所以这个差为 $(\sqrt2+1)-(\sqrt2-1)=2\text{。}$

因此，正确答案是 A。

Since $\begin{gathered} 3+2\sqrt2=(\sqrt2+1)^2,\\ 3-2\sqrt2=(\sqrt2-1)^2, \end{gathered}$ and both $\sqrt2+1$ and $\sqrt2-1$ are positive, the difference is $(\sqrt2+1)-(\sqrt2-1)=2.$

Therefore, the correct answer is A.

19.

一个公比为 $r$ 、满足 $|r|\lt1$ 的无穷等比级数的和为 $15$ ，而该级数各项平方的和为 $45$ 。该级数的首项是：

The sum of an infinite geometric series with common ratio $r$ such that $|r|\lt1$ is $15,$ and the sum of the squares of the terms of this series is $45.$ The first term of the series is:

$12$

$10$

$5$

$3$

$2$

知识点：等比数列方程组代数变形

难度评级：1990

小提示：

设首项为 $a$ ，根据两个无穷和分别列方程

If the first term is $a,$ write one equation for each infinite sum

大提示：

利用 $\frac{a}{1-r}=15$ 和 $\frac{a^2}{1-r^2}=45$ ，再约去因式 $1-r$

Use $\frac{a}{1-r}=15$ and $\frac{a^2}{1-r^2}=45$ , then cancel a factor of $1-r$

解答：

设首项为 $a$ 。则 $\frac{a}{1-r}=15,\qquad \frac{a^2}{1-r^2}=45\text{。}$ 因为 $1-r^2=(1-r)(1+r)$ ，用第二个方程除以第一个方程，得到 $\frac{a}{1+r}=3$ 。因此 $a=15(1-r)=3(1+r)\text{。}$ 解得 $r=\frac{2}{3}$ ，且 $a=5$ 。

因此，正确答案是 C。

Let the first term be $a.$ Then $\frac{a}{1-r}=15,\qquad \frac{a^2}{1-r^2}=45.$ Since $1-r^2=(1-r)(1+r),$ dividing the second equation by the first gives $\frac{a}{1+r}=3.$ Thus $a=15(1-r)=3(1+r).$ Solving gives $r=\frac{2}{3}$ and $a=5.$

Therefore, the correct answer is C.

20.

直线 $HK$ 和 $BC$ 位于同一平面内。 $M$ 是线段 $BC$ 的中点，且 $BH$ 和 $CK$ 都垂直于 $HK$ 。则：

Lines $HK$ and $BC$ lie in a plane. $M$ is the midpoint of line segment $BC,$ and $BH$ and $CK$ are perpendicular to $HK.$ Then we:

总有 $MH=MK$

always have $MH=MK$

总有 $MH\gt BK$

always have $MH\gt BK$

有时 $MH=MK$ ，但并非总是如此

sometimes have $MH=MK$ but not always

总有 $MH\gt MB$

always have $MH\gt MB$

总有 $BH\lt BC$

always have $BH\lt BC$

知识点：坐标几何中点垂直平分线

难度评级：1790

小提示：

将 $HK$ 放在 $x$ 轴上

Put $HK$ on the $x$ -axis

大提示：

取 $H=(h,0)$ 、 $B=(h,u)$ 、 $K=(k,0)$ 、 $C=(k,v)$ ；比较从它们中点出发的距离平方

Use $H=(h,0),$ $B=(h,u),$ $K=(k,0),$ and $C=(k,v)$ ; compare squared distances from their midpoint

解答：

选取坐标 $\begin{gathered} H=(h,0),\quad B=(h,u),\\ K=(k,0),\quad C=(k,v) \end{gathered}\text{。}$ 则 $M=\left(\frac{h+k}{2},\frac{u+v}{2}\right)\text{。}$ 从 $M$ 到 $H$ 与 $K$ 的水平位移互为相反数，而竖直位移相等。因此 $MH^2=MK^2$ ，所以总有 $MH=MK$ 。

因此，正确答案是 A。

Choose coordinates $\begin{gathered} H=(h,0),\quad B=(h,u),\\ K=(k,0),\quad C=(k,v). \end{gathered}$ Then $M=\left(\frac{h+k}{2},\frac{u+v}{2}\right).$ The horizontal displacements from $M$ to $H$ and $K$ are opposites, while the vertical displacements are equal. Therefore $MH^2=MK^2,$ so $MH=MK$ always.

Therefore, the correct answer is A.

21.

一辆汽车去程时，仪表盘显示行驶了 $450$ 英里。装上雪地轮胎后沿同一路线返程，仪表盘显示行驶了 $440$ 英里。若原车轮半径为 $15$ 英寸，求车轮半径增加了多少英寸，精确到百分位。

On an auto trip, the distance read from the instrument panel was $450$ miles. With snow tires on for the return trip over the same route, the reading was $440$ miles. Find, to the nearest hundredth of an inch, the increase in radius of the wheels if the original radius was $15$ inches.

$0.33$

$0.34$

$0.35$

$0.38$

$0.66$

知识点：比与比例圆周长路程、速度与时间

难度评级：1650

小提示：

实际距离固定时，里程表读数与车轮半径成反比

For a fixed true distance, the odometer reading is inversely proportional to wheel radius

大提示：

若两个半径为 $r_1,r_2$ ，则利用 $450r_1=440r_2$

If the radii are $r_1,r_2,$ use $450r_1=440r_2$

解答：

实际距离固定时，里程表读数与车轮转数成正比。因此 $450r_1=440r_2, \qquad \frac{r_2}{r_1}=\frac{45}{44}\text{。}$ 由 $r_1=15$ 可知，增加的半径为 $\begin{aligned} r_2-r_1 &=15\left(\frac{45}{44}-1\right)\\ &=\frac{15}{44}\\ &\approx0.3409 \end{aligned}\text{。}$ 精确到百分位是 $0.34$ 英寸。

因此，正确答案是 B。

For a fixed true distance, the odometer reading is proportional to the number of wheel revolutions. Thus $450r_1=440r_2, \qquad \frac{r_2}{r_1}=\frac{45}{44}.$ With $r_1=15,$ the increase is $\begin{aligned} r_2-r_1 &=15\left(\frac{45}{44}-1\right)\\ &=\frac{15}{44}\\ &\approx0.3409. \end{aligned}$ To the nearest hundredth this is $0.34$ inch.

Therefore, the correct answer is B.

22.

若前 $3n$ 个正整数之和比前 $n$ 个正整数之和多 $150$ ，则前 $4n$ 个正整数之和为：

If the sum of the first $3n$ positive integers is $150$ more than the sum of the first $n$ positive integers, then the sum of the first $4n$ positive integers is:

$300$

$350$

$400$

$450$

$600$

知识点：三角形数二次方程求和

难度评级：1590

小提示：

利用 $1+2+\cdots+m=\frac{m(m+1)}{2}$

Use $1+2+\cdots+m=\frac{m(m+1)}{2}$

大提示：

题目所给的差化简为 $4n^2+n$

The given difference simplifies to $4n^2+n$

解答：

设 $S_m=\frac{m(m+1)}{2}$ 。则 $\begin{aligned} 2(S_{3n}-S_n) &=3n(3n+1)\\ &\quad{}-n(n+1)\\ &=8n^2+2n \end{aligned}\text{。}$ 由于 $S_{3n}-S_n=150$ ，可得 $4n^2+n=150$ 。因此 $(n-6)(4n+25)=0$ ，其正数解为 $n=6$ 。所以 $S_{4n}=S_{24}=\frac{24\cdot25}{2}=300\text{。}$

因此，正确答案是 A。

Let $S_m=\frac{m(m+1)}{2}.$ Then $\begin{aligned} 2(S_{3n}-S_n) &=3n(3n+1)\\ &\quad{}-n(n+1)\\ &=8n^2+2n. \end{aligned}$ Since $S_{3n}-S_n=150,$ this gives $4n^2+n=150.$ Hence $(n-6)(4n+25)=0,$ and the positive solution is $n=6.$ Therefore $S_{4n}=S_{24}=\frac{24\cdot25}{2}=300.$

Therefore, the correct answer is A.

23.

数 $10!$ （这里的 $10$ 用 $10$ 进制表示）写成 $12$ 进制时，末尾恰有 $k$ 个零。 $k$ 的值为：

The number $10!$ ( $10$ is written in base $10$ ), when written in the base $12$ system, ends in exactly $k$ zeros. The value of $k$ is:

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

知识点：进制末尾零质因数分解阶乘

难度评级：1830

小提示：

一个 $12$ 进制末尾零对应一个因子 $12=2^2\cdot3$

A trailing base- $12$ zero contributes one factor of $12=2^2\cdot3$

大提示：

比较 $10!$ 中质因数 $2$ 和 $3$ 的指数

Compare the exponents of $2$ and $3$ in $10!$

解答：

$10!$ 中各质因数的指数为 $\begin{gathered} v_2(10!)=5+2+1=8,\\ v_3(10!)=3+1=4 \end{gathered}\text{。}$ 每个因子 $12=2^2\cdot3$ 需要两个因数 $2$ 和一个因数 $3$ 。因此 $12$ 进制表示的末尾零个数为 $\min\left(\left\lfloor\frac82\right\rfloor,4\right)=4\text{。}$

因此，正确答案是 D。

The prime exponents in $10!$ are $\begin{gathered} v_2(10!)=5+2+1=8,\\ v_3(10!)=3+1=4. \end{gathered}$ Each factor of $12=2^2\cdot3$ uses two factors of $2$ and one of $3.$ Hence the number of trailing base- $12$ zeros is $\min\left(\left\lfloor\frac82\right\rfloor,4\right)=4.$

Therefore, the correct answer is D.

24.

一个等边三角形与一个正六边形的周长相等。若三角形的面积为 $2$ ，则六边形的面积为：

An equilateral triangle and a regular hexagon have equal perimeters. If the area of the triangle is $2,$ then the area of the hexagon is:

$2$

$3$

$4$

$6$

$12$

知识点：等边三角形正多边形面积比周长

难度评级：1400

小提示：

设六边形的边长为 $s$ ；由周长相等可知三角形的边长为 $2s$

Let the hexagon side be $s$ ; equal perimeters make the triangle side $2s$

大提示：

三角形可分成四个边长为 $s$ 的小等边三角形，而六边形可分成六个

The triangle splits into four small equilateral triangles of side $s$ , while the hexagon splits into six

解答：

设六边形的边长为 $s$ 。它的周长为 $6s$ ，所以等边三角形的边长为 $2s$ 。大三角形由 $4$ 个边长为 $s$ 的等边三角形组成，而六边形由 $6$ 个这样的三角形组成。因此它们的面积之比为 $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$ 。由于三角形的面积为 $2$ ，所以六边形的面积为 $3$ 。

因此，正确答案是 B。

Let the hexagon side be $s.$ Its perimeter is $6s,$ so the equilateral triangle has side $2s.$ The large triangle consists of $4$ equilateral triangles of side $s,$ while the hexagon consists of $6.$ Their area ratio is therefore $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.$ Since the triangle’s area is $2,$ the hexagon’s area is $3.$

Therefore, the correct answer is B.

25.

对每个实数 $x$ ，令 $\lfloor x\rfloor$ 表示不大于 $x$ 的最大整数。若一等邮件的邮资为每盎司或不足一盎司均收六美分，则一封重 $W$ 盎司的信的一等邮资（单位为美分）总是：

For every real number $x,$ let $\lfloor x\rfloor$ be the greatest integer which is less than or equal to $x.$ If the postal rate for first class mail is six cents for every ounce or portion thereof, then the cost in cents of first-class postage on a letter weighing $W$ ounces is always:

$6W$

$6\lfloor W\rfloor$

$6(\lfloor W\rfloor-1)$

$6(\lfloor W\rfloor+1)$

$-6\lfloor-W\rfloor$

知识点：取整函数钱币函数

难度评级：1850

小提示：

计费的盎司数是不小于 $W$ 的最小整数

The number of charged ounces is the least integer at least $W$

大提示：

利用恒等式 $\lceil W\rceil=-\lfloor-W\rfloor$

Use the identity $\lceil W\rceil=-\lfloor-W\rfloor$

解答：

每盎司或不足一盎司均计费，意味着计费的盎司数为 $\lceil W\rceil$ 。向下取整函数和向上取整函数满足 $\lceil W\rceil=-\lfloor-W\rfloor\text{。}$ 因此邮资为 $6\lceil W\rceil=-6\lfloor-W\rfloor\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Charging for every ounce or portion thereof means the number of charged ounces is $\lceil W\rceil.$ The floor and ceiling functions satisfy $\lceil W\rceil=-\lfloor-W\rfloor.$ Thus the cost is $6\lceil W\rceil=-6\lfloor-W\rfloor.$

Therefore, the correct answer is E.

26.

在 $xy$ 平面内，考虑图形 $(x+y-5)(2x-3y+5)=0$ 和图形 $(x-y+1)(3x+2y-12)=0\text{。}$ 这两个图形有多少个不同的公共点？

The number of distinct points in the $xy$ -plane common to the graphs of $(x+y-5)(2x-3y+5)=0$ and $(x-y+1)(3x+2y-12)=0$ is:

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

无穷多个

infinite

知识点：方程组零积性质交点计数

难度评级：1640

小提示：

每个乘积方程都表示两条直线的并集

Each product equation represents a union of two lines

大提示：

先检查每组两条直线的交点，再考虑四种配对

Check the intersection of the two lines in each pair before considering all four pairings

解答：

第一个图形是以下两条直线的并集： $x+y=5,\qquad 2x-3y=-5\text{，}$ 这两条直线交于 $(2,3)$ 。第二个图形是以下两条直线的并集： $x-y=-1,\qquad 3x+2y=12\text{，}$ 它们也交于 $(2,3)$ 。事实上，将 $(2,3)$ 代入可知，它满足四条直线的方程。由于四条直线的斜率各不相同，不会有其他点同时属于两个图形。因此恰有一个公共点。

因此，正确答案是 B。

The first graph is the union of $x+y=5,\qquad 2x-3y=-5,$ and those two lines meet at $(2,3).$ The second graph is the union of $x-y=-1,\qquad 3x+2y=12,$ and these also meet at $(2,3).$ In fact, substituting $(2,3)$ satisfies all four line equations. Since the four lines have distinct slopes, no other point can belong to a line from each graph. There is exactly one common point.

Therefore, the correct answer is B.

27.

一个三角形的面积在数值上等于其周长。内切圆的半径是多少？

In a triangle, the area is numerically equal to the perimeter. What is the radius of the inscribed circle?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

知识点：内切圆、内心与内切圆半径三角形面积周长

难度评级：1830

小提示：

用内切圆半径和半周长表示面积

Express the area in terms of the inradius and semiperimeter

大提示：

利用 $K=rs$ 以及周长 $=2s$

Use $K=rs$ and perimeter $=2s$

解答：

若 $r$ 为内切圆半径， $s$ 为半周长，则三角形的面积为 $K=rs$ ，周长为 $2s$ 。由题设等式可得 $rs=2s\text{。}$ 因为 $s\gt0$ ，所以 $r=2$ 。

因此，正确答案是 A。

If $r$ is the inradius and $s$ the semiperimeter, the triangle’s area is $K=rs.$ Its perimeter is $2s.$ The given equality yields $rs=2s.$ Since $s\gt0,$ we obtain $r=2.$

Therefore, the correct answer is A.

28.

在三角形 $ABC$ 中，从顶点 $A$ 出发的中线垂直于从顶点 $B$ 出发的中线。若边 $AC$ 和 $BC$ 的长度分别为 $6$ 和 $7$ ，则边 $AB$ 的长度为：

In triangle $ABC,$ the median from vertex $A$ is perpendicular to the median from vertex $B.$ If the lengths of sides $AC$ and $BC$ are $6$ and $7,$ respectively, then the length of side $AB$ is:

$\sqrt{17}$

$4$

$4\tfrac12$

$2\sqrt5$

$4\tfrac14$

知识点：重心中线（几何）向量勾股定理

难度评级：2300

小提示：

将重心置于原点，并设 $A,B$ 的位置向量为互相垂直的向量 $u,v$

Place the centroid at the origin and let the position vectors of $A,B$ be perpendicular vectors $u,v$

大提示：

则 $C=-u-v$ ，所以 $AC^2=|2u+v|^2$ ，且 $BC^2=|u+2v|^2$

Then $C=-u-v,$ so $AC^2=|2u+v|^2$ and $BC^2=|u+2v|^2$

解答：

将重心置于原点。设 $A$ 和 $B$ 的位置向量分别为 $u$ 和 $v$ 。两条中线分别沿 $u$ 和 $v$ 的方向，所以 $u\cdot v=0$ 。由重心条件还可得 $C=-u-v$ 。

设 $U=|u|^2$ ，且 $V=|v|^2$ 。则 $AC^2=|2u+v|^2=4U+V=36$ 以及 $\begin{aligned} BC^2&=|u+2v|^2\\ &=U+4V=49 \end{aligned}\text{。}$ 将两个方程取适当倍数后相加，得到 $U+V=17$ 。最后， $AB^2=|u-v|^2=U+V=17\text{，}$ 所以 $AB=\sqrt{17}$ 。

因此，正确答案是 A。

Place the centroid at the origin. Let the position vectors of $A$ and $B$ be $u$ and $v.$ The two medians lie along $u$ and $v,$ so $u\cdot v=0.$ Also the centroid condition gives $C=-u-v.$

Let $U=|u|^2$ and $V=|v|^2.$ Then $AC^2=|2u+v|^2=4U+V=36$ and $\begin{aligned} BC^2&=|u+2v|^2\\ &=U+4V=49. \end{aligned}$ Adding appropriate multiples gives $U+V=17.$ Finally, $AB^2=|u-v|^2=U+V=17,$ so $AB=\sqrt{17}.$

Therefore, the correct answer is A.

29.

现在是 $10{:}00$ 至 $11{:}00$ 之间。六分钟后，手表的分针将恰好指向三分钟前时针所指位置的正对面。现在的准确时间是多少？

It is now between $10{:}00$ and $11{:}00$ o’clock, and six minutes from now, the minute hand of a watch will be exactly opposite the place where the hour hand was three minutes ago. What is the exact time now?

$10{:}05\tfrac5{11}$

$10{:}07\tfrac12$

$10{:}10$

$10{:}15$

$10{:}17\tfrac12$

知识点：时钟一次方程

难度评级：1890

小提示：

设现在是 $10{:}00$ 之后 $x$ 分钟

Let $x$ be the number of minutes after $10{:}00$ now

大提示：

以分钟刻度为单位，未来的分针位于 $x+6$ ，而过去时针位置的对面位于 $20+\frac{x-3}{12}$

In minute-space units, the future minute hand is at $x+6$ , while the point opposite the past hour hand is at $20+\frac{x-3}{12}$

解答：

设现在是 $10{:}00$ 之后 $x$ 分钟。六分钟后，分针从 $12$ 顺时针走过 $x+6$ 个分钟刻度。三分钟前，时针越过 $10$ 的位置 $\frac{x-3}{12}$ 个分钟刻度，所以它的正对面位于 $20+\frac{x-3}{12}$ 即从 $12$ 起经过这么多个分钟刻度。因此 $x+6=20+\frac{x-3}{12}\text{。}$ 解得 $x=15$ ，所以时间是 $10{:}15$ 。

因此，正确答案是 D。

Let $x$ be the number of minutes after $10{:}00$ now. Six minutes from now, the minute hand is $x+6$ minute spaces clockwise from $12.$ Three minutes ago, the hour hand was $\frac{x-3}{12}$ minute spaces past the $10,$ so the point opposite it was $20+\frac{x-3}{12}$ minute spaces past $12.$ Hence $x+6=20+\frac{x-3}{12}.$ Solving gives $x=15,$ so the time is $10{:}15.$

Therefore, the correct answer is D.

30.

在所附图形中，线段 $AB$ 与 $CD$ 平行，角 $D$ 的度数是角 $B$ 的两倍，线段 $AD$ 和 $CD$ 的长度分别为 $a$ 和 $b$ 。则 $AB$ 的长度等于：

In the accompanying figure, segments $AB$ and $CD$ are parallel, the measure of angle $D$ is twice that of angle $B,$ and the measures of segments $AD$ and $CD$ are $a$ and $b,$ respectively. Then the measure of $AB$ is equal to:

$\tfrac12a+2b$

$\tfrac32b+\tfrac34a$

$2a-b$

$4b-\tfrac12a$

$a+b$

知识点：角平分线平行线等腰三角形平行四边形

难度评级：2190

小提示：

平分角 $D$ ，并设角平分线与 $AB$ 交于 $P$

Bisect angle $D$ and let the bisector meet $AB$ at $P$

大提示：

追角可知 $\triangle APD$ 为等腰三角形，而 $PBCD$ 为平行四边形

Angle chasing makes $\triangle APD$ isosceles, while $PBCD$ is a parallelogram

解答：

设 $\angle D$ 的角平分线与 $AB$ 交于 $P$ 。因为 $\angle D=2\angle B$ ，所以每一半都等于 $\angle B$ 。又因为 $AB\parallel CD$ ，内错角 $\angle APD$ 也等于 $\angle PDC$ 。因此三角形 $APD$ 为等腰三角形，并且 $AP=AD=a\text{。}$ 此外， $PB\parallel CD$ ，且 $BC\parallel PD$ ，所以 $PBCD$ 是平行四边形。因此 $PB=CD=b$ 。所以 $AB=AP+PB=a+b\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Let the bisector of $\angle D$ meet $AB$ at $P.$ Because $\angle D=2\angle B,$ each half has measure $\angle B.$ Since $AB\parallel CD,$ the alternate interior angle $\angle APD$ also equals $\angle PDC.$ Thus triangle $APD$ is isosceles and $AP=AD=a.$ Also $PB\parallel CD$ and $BC\parallel PD,$ so $PBCD$ is a parallelogram. Hence $PB=CD=b.$ Therefore $AB=AP+PB=a+b.$

Therefore, the correct answer is E.

31.

从所有数位和等于 $43$ 的五位数中随机选取一个数。这个数能被 $11$ 整除的概率是多少？

If a number is selected at random from the set of all five-digit numbers in which the sum of the digits is equal to $43,$ what is the probability that this number will be divisible by $11?$

$\frac{2}{5}$

$\frac{1}{5}$

$\frac{1}{6}$

$\frac{1}{11}$

$\frac{1}{15}$

知识点：数字整除性基本计数基本概率

难度评级：2300

小提示：

从 $99999$ 出发；数位和为 $43$ 意味着总共减少 $2$

Start from $99999$ ; a digit sum of $43$ means a total deficit of $2$

大提示：

可能情况是出现一个 $7$ 或两个 $8$ ；应用 $11$ 的交错和整除判别法

The possibilities are one $7$ or two $8$ s; apply the divisibility-by- $11$ alternating-sum test

解答：

五位数最大的数位和为 $45$ ，所以数位和为 $43$ 的数相对于 $99999$ 总共减少 $2$ 。一种情况是一个数位为 $7$ ，其余数位为 $9$ ，共有 $5$ 个数；另一种情况是两个数位为 $8$ ，其余数位为 $9$ ，共有 $\binom52=10$ 个数。因此总共有 $15$ 个数。

利用 $11$ 的整除判别法，恰有 $97999,\qquad 99979,\qquad 98989$ 能被 $11$ 整除。因此概率为 $\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$ 。

因此，正确答案是 B。

The maximum five-digit digit sum is $45,$ so a sum of $43$ has total deficit $2$ from $99999.$ Either one digit is $7$ and the others are $9$ , giving $5$ numbers, or two digits are $8$ and the others are $9$ , giving $\binom52=10$ numbers. Thus there are $15$ numbers total.

Using the divisibility-by- $11$ test, exactly $97999,\qquad 99979,\qquad 98989$ are divisible by $11.$ The probability is therefore $\frac{3}{15}=\frac{1}{5}.$

Therefore, the correct answer is B.

32.

$A$ 和 $B$ 从圆形跑道上一对直径相对的点同时出发，以匀速沿相反方向绕跑道行进。他们在 $B$ 行进 $100$ 码后第一次相遇，并在 $A$ 距离完成一圈还有 $60$ 码时第二次相遇。则跑道的周长（单位为码）是：

$A$ and $B$ travel around a circular track at uniform speeds in opposite directions, starting from diametrically opposite points. If they start at the same time, meet first after $B$ has travelled $100$ yards, and meet a second time $60$ yards before $A$ completes one lap, then the circumference of the track in yards is:

$400$

$440$

$480$

$560$

$880$

知识点：相对速度圆周长比与比例方程组

难度评级：2190

小提示：

设跑道周长为 $2C$ ，比较两次相遇时两人的路程之比

Let the circumference be $2C$ and compare the two runners’ traveled-distance ratios at each meeting

大提示：

第一次相遇时两人的路程为 $C-100$ 和 $100$ ；第二次相遇时为 $2C-60$ 和 $C+60$

At the first meeting their distances are $C-100$ and $100$ ; at the second they are $2C-60$ and $C+60$

解答：

设跑道周长为 $2C$ 。第一次相遇时， $B$ 已行进 $100$ 码， $A$ 已行进 $C-100$ ，所以他们的速度之比为 $\frac{v_A}{v_B}=\frac{C-100}{100}\text{。}$ 第二次相遇时， $A$ 距离完成一圈还差 $60$ 码，所以它已行进 $2C-60$ 。此时两人的路程之和为 $3C$ ，所以 $B$ 已行进 $C+60$ 。因此 $\frac{C-100}{100}=\frac{2C-60}{C+60}\text{。}$ 交叉相乘可得 $C=240$ ，所以跑道周长为 $2C=480$ 码。

因此，正确答案是 C。

Let the circumference be $2C.$ At the first meeting, $B$ has traveled $100$ yards and $A$ has traveled $C-100,$ so their speed ratio is $\frac{v_A}{v_B}=\frac{C-100}{100}.$ At the second meeting, $A$ is $60$ yards short of one lap, so it has traveled $2C-60.$ By then their combined distance is $3C,$ so $B$ has traveled $C+60.$ Hence $\frac{C-100}{100}=\frac{2C-60}{C+60}.$ Cross-multiplying gives $C=240,$ so the circumference is $2C=480$ yards.

Therefore, the correct answer is C.

33.

求数列 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $\ldots$ 、 $10000$ 中所有数的各个数位之和。

Find the sum of the digits of all the numerals in the sequence $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $\ldots,$ $10000.$

$180{,}001$

$154{,}756$

$45{,}001$

$154{,}755$

$270{,}001$

知识点：数字位值对称性（代数）求和

难度评级：1890

小提示：

先求从 $0000$ 到 $9999$ 的所有数位之和

First sum the digits from $0000$ through $9999$

大提示：

在四个数位中的每一个位置，每个数字都恰好出现 $1000$ 次

In each of the four positions, every digit appears exactly $1000$ times

解答：

将从 $0$ 到 $9999$ 的整数写成带前导零的四位数。在四个数位中的每一个位置，数字 $0$ 、 $1$ 、 $\ldots$ 、 $9$ 都出现 $1000$ 次。因此所有数位的总和为 $\begin{gathered} 4\cdot1000(0+1+\cdots+9)\\ =4000\cdot45\\ =180000 \end{gathered}\text{。}$ 用 $10000$ 取代 $0$ 会增加 $1$ ，所以所求的和为 $180001$ 。

因此，正确答案是 A。

Write the integers from $0$ through $9999$ using four digits with leading zeros. In each of the four positions, every digit $0,$ $1,$ $\ldots,$ $9$ appears $1000$ times. Thus their total digit sum is $\begin{gathered} 4\cdot1000(0+1+\cdots+9)\\ =4000\cdot45\\ =180000. \end{gathered}$ Replacing $0$ by $10000$ adds $1,$ so the requested sum is $180001.$

Therefore, the correct answer is A.

34.

除 $13{,}511$ 、 $13{,}903$ 和 $14{,}589$ 后所得余数相同的最大整数是：

The greatest integer that will divide $13{,}511,$ $13{,}903,$ and $14{,}589$ and leave the same remainder is:

$28$

$49$

$98$

大于 $49$ 的 $7$ 的奇数倍

an odd multiple of $7$ greater than $49$

大于 $98$ 的 $7$ 的偶数倍

an even multiple of $7$ greater than $98$

知识点：最大公约数整除性代数变形

难度评级：1650

小提示：

余数相同意味着除数能整除每两个数之差

A common remainder means the divisor divides every pairwise difference

大提示：

求 $13903-13511$ 与 $14589-13903$ 的最大公因数

Find the GCD of $13903-13511$ and $14589-13903$

解答：

一个除数除这三个数所得余数相同，当且仅当它能整除这些数之间的差。相邻两个差为 $\begin{gathered} 13903-13511=392,\\ 14589-13903=686 \end{gathered}\text{。}$ 因此最大的可能除数为 $\begin{gathered} \gcd(392,686)\\ =\gcd(392,294)\\ =\gcd(294,98)=98 \end{gathered}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

A divisor leaves the same remainder on all three numbers exactly when it divides their differences. The two successive differences are $\begin{gathered} 13903-13511=392,\\ 14589-13903=686. \end{gathered}$ Therefore the greatest possible divisor is $\begin{gathered} \gcd(392,686)\\ =\gcd(392,294)\\ =\gcd(294,98)=98. \end{gathered}$

Therefore, the correct answer is C.

35.

一名退休员工领取的年度养老金与其服务年数的平方根成正比。若他多服务 $a$ 年，养老金将增加 $p$ 美元；若他多服务 $b$ 年（ $b\ne a$ ），养老金将比原年度养老金增加 $q$ 美元。用 $a$ 、 $b$ 、 $p$ 、 $q$ 表示他的年度养老金。

A retiring employee receives an annual pension proportional to the square root of the number of years of his service. Had he served $a$ years more, his pension would have been $p$ dollars greater, whereas, had he served $b$ years more ( $b\ne a$ ), his pension would have been $q$ dollars greater than the original annual pension. Find his annual pension in terms of $a,$ $b,$ $p,$ and $q.$

$\dfrac{p^2-q^2}{2(a-b)}$

$\dfrac{(p-q)^2}{2\sqrt{ab}}$

$\dfrac{ap^2-bq^2}{2(ap-bq)}$

$\dfrac{aq^2-bp^2}{2(bp-aq)}$

$\sqrt{(a-b)(p-q)}$

知识点：比与比例根式方程组代数变形

难度评级：2440

小提示：

设当前养老金为 $X=k\sqrt n$ ，并写出两种假设情况下的养老金

Let the current pension be $X=k\sqrt n$ and write the two hypothetical pensions

大提示：

将 $X+p=k\sqrt{n+a}$ 和 $X+q=k\sqrt{n+b}$ 分别平方，再消去 $n$ 和 $k^2$

Square $X+p=k\sqrt{n+a}$ and $X+q=k\sqrt{n+b}$ , then eliminate both $n$ and $k^2$

解答：

设当前养老金为 $X=k\sqrt n$ 。因为 $X+p=k\sqrt{n+a}$ ，且 $X+q=k\sqrt{n+b}$ ，分别平方并利用 $X^2=k^2n$ ，得到下面前两个方程。再将它们分别乘以 $b$ 和 $a$ ，相减后得到第三个方程： $\begin{gathered} 2pX+p^2=k^2a,\\ 2qX+q^2=k^2b,\\ 2X(bp-aq)=aq^2-bp^2 \end{gathered}\text{。}$ 因此 $X=\dfrac{aq^2-bp^2}{2(bp-aq)}$ 。

因此，正确答案是 D。

Let the current pension be $X=k\sqrt n.$ Since $X+p=k\sqrt{n+a}$ and $X+q=k\sqrt{n+b},$ squaring and using $X^2=k^2n$ gives the first line below. Multiplying its equations by $b$ and $a,$ respectively, and subtracting gives the second: $\begin{gathered} 2pX+p^2=k^2a,\\ 2qX+q^2=k^2b,\\ 2X(bp-aq)=aq^2-bp^2. \end{gathered}$ Hence $X=\dfrac{aq^2-bp^2}{2(bp-aq)}.$

Therefore, the correct answer is D.