Question

一个公比为 $r$ 、满足 $|r|\lt1$ 的无穷等比级数的和为 $15$ ，而该级数各项平方的和为 $45$ 。该级数的首项是：

The sum of an infinite geometric series with common ratio $r$ such that $|r|\lt1$ is $15,$ and the sum of the squares of the terms of this series is $45.$ The first term of the series is:

$12$

$10$

$5$

$3$

$2$

答案：C

知识点：等比数列方程组代数变形

难度评级：1990

小提示：

设首项为 $a$ ，根据两个无穷和分别列方程

If the first term is $a,$ write one equation for each infinite sum

大提示：

利用 $\frac{a}{1-r}=15$ 和 $\frac{a^2}{1-r^2}=45$ ，再约去因式 $1-r$

Use $\frac{a}{1-r}=15$ and $\frac{a^2}{1-r^2}=45$ , then cancel a factor of $1-r$

解答：

设首项为 $a$ 。则 $\frac{a}{1-r}=15,\qquad \frac{a^2}{1-r^2}=45\text{。}$ 因为 $1-r^2=(1-r)(1+r)$ ，用第二个方程除以第一个方程，得到 $\frac{a}{1+r}=3$ 。因此 $a=15(1-r)=3(1+r)\text{。}$ 解得 $r=\frac{2}{3}$ ，且 $a=5$ 。

因此，正确答案是 C。

Let the first term be $a.$ Then $\frac{a}{1-r}=15,\qquad \frac{a^2}{1-r^2}=45.$ Since $1-r^2=(1-r)(1+r),$ dividing the second equation by the first gives $\frac{a}{1+r}=3.$ Thus $a=15(1-r)=3(1+r).$ Solving gives $r=\frac{2}{3}$ and $a=5.$

Therefore, the correct answer is C.

1970 AMC 12 第 19 题

答案：C

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题