Question

一个三角形内接于圆。三角形的三个顶点将圆周分成弧长分别为 $3$ 、 $4$ 和 $5$ 的三段弧。这个三角形的面积是多少？

A triangle is inscribed in a circle. The vertices of the triangle divide the circle into three arcs of lengths $3,$ $4,$ and $5.$ What is the area of the triangle?

$6$

$\frac{18}{\pi^2}$

$\frac9{\pi^2}(\sqrt3-1)$

$\frac9{\pi^2}(\sqrt3+1)$

$\frac9{\pi^2}(\sqrt3+3)$

答案：E

知识点：弧外接圆、外心与外接圆半径三角形面积

难度评级：2340

小提示：

圆周长为 $12$ ，先求出半径和三个圆心角

The circumference is $12,$ so first find the radius and the three central angles

大提示：

连接圆心与三个顶点，将该三角形分成三个以圆心为公共顶点的三角形

Split the triangle into three triangles having the circle’s center as a common vertex

解答：

半径为 $R=\frac{12}{2\pi}=\frac{6}{\pi}$ 。弧长 $3,4,5$ 对应的圆心角为 $\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{6}$ 。这些角的正弦之和为 $1+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3+\sqrt3}{2}$ 。从圆心将三角形分割后，其面积为 $\begin{aligned} K&=\frac12\cdot\frac{36}{\pi^2} \cdot\frac{3+\sqrt3}{2}\\ &=\frac9{\pi^2}(\sqrt3+3) \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 E。

The radius is $R=\frac{12}{2\pi}=\frac{6}{\pi}.$ The arc lengths $3,4,5$ give central angles $\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{6}.$ Their sines sum to $1+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3+\sqrt3}{2}.$ Splitting the triangle at the center, its area is $\begin{aligned} K&=\frac12\cdot\frac{36}{\pi^2} \cdot\frac{3+\sqrt3}{2}\\ &=\frac9{\pi^2}(\sqrt3+3). \end{aligned}$

Thus the correct answer is E.

1989 AMC 12 第 19 题

答案：E

难度评级：2340

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题