Question

有多少个整数 $N$ 介于 $1$ 和 $1990$ 之间，使假分数 $\frac{N^2+7}{N+4}$ 不是最简分数？

For how many integers $N$ between $1$ and $1990$ is the improper fraction $\frac{N^2+7}{N+4}$ not in lowest terms?

$0$

$86$

$90$

$104$

$105$

答案：B

知识点：最大公约数模运算区间内整数计数

难度评级：1900

小提示：

将 $N^2+7$ 对 $N+4$ 取模化简

Reduce $N^2+7$ modulo $N+4$

大提示：

唯一可能的公质因数是 $23$ 的因数

The only possible common prime factor is a divisor of $23$

解答：

对 $N+4$ 取模，有 $N\equiv-4$ ，所以 $N^2+7\equiv16+7=23\text{。}$ 因此，该分数可约分，当且仅当 $N+4$ 能被 $23$ 整除，即 $N\equiv19\pmod{23}$ 。这些值为 $19,42,\ldots,1974$ ，一共有 $86$ 个。

所以正确答案是 B。

Modulo $N+4,$ we have $N\equiv-4,$ so $N^2+7\equiv16+7=23.$ Thus the fraction is reducible exactly when $N+4$ is divisible by $23,$ or $N\equiv19\pmod{23}.$ The values are $19,42,\ldots,1974,$ a total of $86.$

Thus the correct answer is B.

1990 AMC 12 第 19 题

答案：B

难度评级：1900

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题