Question

方程为 $y = ax^2 + bx + c$ 的抛物线关于 $x$ -轴反射。原抛物线和反射后的抛物线分别向相反方向水平平移五个单位，成为 $y = f(x)$ 和 $y = g(x)$ 的图像。下列哪一项描述了 $y = (f + g)(x)$ 的图像？

A parabola with equation $y = ax^2 + bx + c$ is reflected about the $x$ -axis. The parabola and its reflection are translated horizontally five units in opposite directions to become the graphs of $y = f(x)$ and $y = g(x),$ respectively. Which of the following describes the graph of $y = (f + g)(x)?$

一条与 $x$ -轴相切的抛物线

a parabola tangent to the $x$ -axis

一条不与 $x$ -轴相切的抛物线

a parabola not tangent to the $x$ -axis

一条水平直线

a horizontal line

一条非水平直线

a non-horizontal line

一个三次函数的图像

the graph of a cubic function

答案：D

知识点：抛物线变换函数

难度评级：1840

小提示：

把抛物线写成 $a(x-h)^2+k$ ；它的反射为 $-a(x-h)^2-k$ 。

Write the parabola as $a(x-h)^2+k;$ its reflection is $-a(x-h)^2-k$

大提示：

做相反的 $\pm5$ 平移后，把 $f$ 和 $g$ 相加，观察平方项抵消。

After the opposite $\pm5$ shifts, add $f$ and $g$ and watch the squared terms cancel

解答：

把抛物线写成顶点式 $y=a(x-h)^2+k$ 。关于 $x$ 轴反射后，方程为 $y=-a(x-h)^2-k$ 。

向相反方向平移后，可写成 $f(x)=a(x-h+5)^2+k$ 和 $g(x)=-a(x-h-5)^2-k$ 。

两式相加后平方项抵消，得到 $(f+g)(x)=20a(x-h)$ 。因为 $a\neq0$ ，它是一条非水平直线。

所以正确答案是 D。

Write the parabola in vertex form $y=a(x-h)^2+k.$ Its reflection about the $x$ -axis is $y=-a(x-h)^2-k.$

Shifting in opposite directions gives $f(x)=a(x-h+5)^2+k$ and $g(x)=-a(x-h-5)^2-k.$

Adding, the squared terms cancel and $(f+g)(x)=20a(x-h),$ which is a non-horizontal line since $a\neq0.$

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 12A 第 19 题

答案：D

难度评级：1840

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题