Question

存在唯一的严格递增非负整数序列 $a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_k$ ，使得 $\frac{2^{289} + 1}{2^{17} + 1} = 2^{a_1} + 2^{a_2} + \cdots + 2^{a_k}\text{。}$ $k$ 是多少？

There exists a unique strictly increasing sequence of nonnegative integers $a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_k$ such that $\frac{2^{289} + 1}{2^{17} + 1} = 2^{a_1} + 2^{a_2} + \cdots + 2^{a_k}.$ What is $k?$

$117$

$136$

$137$

$273$

$306$

答案：C

知识点：进制 2的幂因式分解

难度评级：1990

小提示：

令 $x = 2^{17}$ ；则商为 $\dfrac{x^{17} + 1}{x + 1} = x^{16} - x^{15} + \cdots + 1$ 。

Write $x = 2^{17};$ then the quotient is $\dfrac{x^{17} + 1}{x + 1} = x^{16} - x^{15} + \cdots + 1$

大提示：

将交替项成对分组为 $x^{m+1} - x^m = 2^{17m}(2^{17} - 1)$ ，每一组在二进制表示中是一段 $17$ 个一

Group the alternating terms into pairs $x^{m+1} - x^m = 2^{17m}(2^{17} - 1),$ each a block of $17$ ones in binary

解答：

令 $x = 2^{17}$ ，则 $\dfrac{2^{289} + 1}{2^{17} + 1}$ $= \dfrac{x^{17} + 1}{x + 1}$ $= x^{16} - x^{15} + \cdots - x + 1$ 是 $17$ 个幂 $x^0, x^1, \ldots, x^{16}$ 的交替和。

把每个被减去的幂与它上方刚好被加上的幂配对： $x^{m+1} - x^m$ $= 2^{17m}(2^{17} - 1)$ $= 2^{17m} + 2^{17m+1}$ $+ \cdots + 2^{17m+16}$ ，这是一段 $17$ 个连续的 $2$ 的幂。

这样的配对有 $8$ 组，另有剩下的 $+2^0$ 。这些块占据的指数范围互不重叠，所以幂的总数为 $8 \cdot 17 + 1 = 137$ 。

因此，正确答案是 C。

Let $x = 2^{17}.$ Then $\dfrac{2^{289} + 1}{2^{17} + 1}$ $= \dfrac{x^{17} + 1}{x + 1}$ $= x^{16} - x^{15} + \cdots - x + 1,$ an alternating sum of the $17$ powers $x^0, x^1, \ldots, x^{16}.$

Pair each subtracted power with the added power just above it: $x^{m+1} - x^m$ $= 2^{17m}(2^{17} - 1)$ $= 2^{17m} + 2^{17m+1}$ $+ \cdots + 2^{17m+16},$ a block of $17$ consecutive powers of $2.$

There are $8$ such pairs, together with the leftover $+2^0.$ The blocks occupy disjoint ranges, so the total number of powers is $8 \cdot 17 + 1 = 137.$

Thus, C is the correct answer.

2020 AMC 12A 第 19 题

答案：C

难度评级：1990

小提示：

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解答：

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