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2013 AMC 12B 第 19 题

先试着解答 2013 AMC 12B 第 19 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2013 AMC 12B 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

19.

在三角形 ABCABC 中，AB=13AB = 13、BC=14BC = 14、CA=15CA = 15。不同的点 DD、EE、FF 分别在线段 BCBC、CACA、DEDE 上，并且 AD⊥BCAD \perp BC、DE⊥ACDE \perp AC、AF⊥BFAF \perp BF。线段 DFDF 的长度可写为 mn\dfrac{m}{n}，其中 mm 和 nn 是互质正整数。求 m+nm + n。

In triangle ABC,ABC, AB=13,AB = 13, BC=14,BC = 14, and CA=15.CA = 15. Distinct points D,D, E,E, and FF lie on segments BC,BC, CA,CA, and DE,DE, respectively, such that AD⊥BC,AD \perp BC, DE⊥AC,DE \perp AC, and AF⊥BF.AF \perp BF. The length of segment DFDF can be written as mn,\dfrac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. What is m+n?m + n?

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答案：B
知识点：圆内接四边形相似高线
难度评级：2140
小提示：

1313-1414-1515 三角形中的高 ADAD 可得 BD=5BD = 5、CD=9CD = 9、AD=12AD = 12。

The altitude ADAD in the 1313-1414-1515 triangle gives BD=5,BD = 5, CD=9,CD = 9, AD=12AD = 12

大提示：

因为 ∠AFB=∠ADB=90∘\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ，所以 A,B,D,FA, B, D, F 四点共圆；利用相似直角三角形求出 FEFE，再由 DF=DE−FEDF = DE - FE 计算。

Since ∠AFB=∠ADB=90∘,\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ, points A,B,D,FA, B, D, F are concyclic; use similar right triangles to find FE,FE, then DF=DE−FEDF = DE - FE

解答：

从 AA 到 BCBC 的高可得 BD=5BD = 5、CD=9CD = 9、AD=12AD = 12。因为 DE⊥ACDE \perp AC，所以 AED∼ADCAED \sim ADC，从而 DE=365DE = \tfrac{36}{5}、AE=485AE = \tfrac{48}{5}。又因为 ∠AFB=∠ADB=90∘\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ，四边形 ABDFABDF 是圆内接四边形，所以 ∠ABD=∠AFE\angle ABD = \angle AFE。于是直角三角形 ABDABD 与 AFEAFE 相似，故 FE5=48512\dfrac{FE}{5} = \dfrac{\frac{48}{5}}{12}，即 FE=4FE = 4。因此 DF=DE−FEDF = DE - FE =365−4= \tfrac{36}{5} - 4 =165= \tfrac{16}{5}，所以 m+n=21m + n = 21。所以正确答案是 B。

The altitude from AA to BCBC gives BD=5,BD = 5, CD=9,CD = 9, AD=12.AD = 12. Because DE⊥AC,DE \perp AC, triangle AED∼ADC,AED \sim ADC, giving DE=365DE = \tfrac{36}{5} and AE=485.AE = \tfrac{48}{5}. Since ∠AFB=∠ADB=90∘,\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ, quadrilateral ABDFABDF is cyclic, so ∠ABD=∠AFE,\angle ABD = \angle AFE, making right triangles ABDABD and AFEAFE similar: FE5=48512,\dfrac{FE}{5} = \dfrac{\frac{48}{5}}{12}, so FE=4.FE = 4. Hence DF=DE−FEDF = DE - FE =365−4= \tfrac{36}{5} - 4 =165,= \tfrac{16}{5}, and m+n=21.m + n = 21. Thus, the correct answer is B.

第 18 题#18
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