Question

在附图中， $ABCD$ 是正方形， $CMN$ 是等边三角形。若 $ABCD$ 的面积为一平方英寸，则 $CMN$ 的面积（以平方英寸为单位）为

In the adjoining figure $ABCD$ is a square and $CMN$ is an equilateral triangle. If the area of $ABCD$ is one square inch, then the area of $CMN$ in square inches is

$2\sqrt3-3$

$1-\frac{\sqrt3}{3}$

$\frac{\sqrt3}{4}$

$\frac{\sqrt2}{3}$

$4-2\sqrt3$

答案：A

知识点：等边三角形勾股定理三角形面积

难度评级：2070

小提示：

正方形边长为 $1$ ；令 $DM=NB=x$ ，这可由比较相等的边 $CM$ 与 $CN$ 得到

The square has side $1;$ set $DM=NB=x$ by comparing the equal sides $CM$ and $CN$

大提示：

令 $CM^2=1+x^2$ 与 $MN^2=2(1-x)^2$ 相等

Equate $CM^2=1+x^2$ with $MN^2=2(1-x)^2$

解答：

正方形边长为 $1$ 。由于 $CM=CN$ ，比较它们长度的平方可得 $DM=NB=x$ 。此外， $\begin{aligned} CM^2&=1+x^2,\\ MN^2&=2(1-x)^2 \end{aligned}\text{。}$ 因为 $CMN$ 是等边三角形，令两式相等可得 $x^2-4x+1=0$ 。位于 $(0,1)$ 内的根是 $x=2-\sqrt3$ 。

三角形边长的平方为 $1+x^2$ ，所以其面积为 $\begin{aligned} A_\triangle&=\frac{\sqrt3}{4}(1+x^2)\\ &=\frac{\sqrt3}{4} \bigl(1+(2-\sqrt3)^2\bigr)\\ &=2\sqrt3-3 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

The square has side $1.$ Since $CM=CN,$ symmetry of their squared lengths gives $DM=NB=x.$ Also, $\begin{aligned} CM^2&=1+x^2,\\ MN^2&=2(1-x)^2. \end{aligned}$ Equating these because $CMN$ is equilateral gives $x^2-4x+1=0.$ The root in $(0,1)$ is $x=2-\sqrt3.$

The triangle’s side has square $1+x^2,$ so its area is $\begin{aligned} A_\triangle&=\frac{\sqrt3}{4}(1+x^2)\\ &=\frac{\sqrt3}{4} \bigl(1+(2-\sqrt3)^2\bigr)\\ &=2\sqrt3-3. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

1974 AMC 12 第 19 题

答案：A

难度评级：2070

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题