Question

Mary 选择了一个偶数 $4$ 位数 $n$ 。她从左到右按递增顺序写下 $n$ 的所有因数： $1$ ， $2$ ， $\ldots$ ， $\tfrac{n}{2}$ ， $n$ 。某一时刻 Mary 写下了 $323$ 作为 $n$ 的一个因数。写在 $323$ 右边的下一个因数的最小可能值是多少？

Mary chose an even $4$ -digit number $n.$ She wrote down all the divisors of $n$ in increasing order from left to right: $1,$ $2,$ $\ldots,$ $\tfrac{n}{2},$ $n.$ At some moment Mary wrote $323$ as a divisor of $n.$ What is the smallest possible value of the next divisor written to the right of $323?$

$324$

$330$

$340$

$361$

$646$

答案：C

知识点：整除性最大公约数质因数分解

难度评级：2170

小提示：

分解 $323=17\cdot19$ 。

Factor $323=17\cdot19$

大提示：

若下一个因数 $d$ 与 $323$ 互质，则 $n\ge323d\gt9999$ ；所以 $d$ 与 $323$ 有公共质因数。

If the next divisor $d$ were coprime to $323,$ then $n\ge323d\gt9999;$ so $d$ shares a prime with $323$

解答：

设 $d$ 是 $323$ 后面的下一个因数。若 $\gcd(d,323)=1$ ，则 $323d$ 整除 $n$ ，迫使 $n\ge323d\gt323^2\gt9999$ ，不可能是 $4$ 位数。因此 $d$ 与 $323=17\cdot19$ 有公共质因数。

于是 $d-323\ge\gcd(d,323)\ge17$ ，所以 $d\ge340$ 。确实， $d=340=17\cdot20$ 可由 $n=17\cdot19\cdot20=6460$ 实现，而这是偶数且为 $4$ 位数。

所以正确答案是 C。

Let $d$ be the next divisor after $323.$ If $\gcd(d,323)=1,$ then $323d$ divides $n,$ forcing $n\ge323d\gt323^2\gt9999,$ impossible for a $4$ -digit number. So $d$ shares a prime factor with $323=17\cdot19.$

Then $d-323\ge\gcd(d,323)\ge17,$ so $d\ge340.$ Indeed $d=340=17\cdot20$ occurs for $n=17\cdot19\cdot20=6460,$ which is even and $4$ -digit.

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12B 第 19 题

答案：C

难度评级：2170

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题