Question

恰有 $N$ 个不同的有理数 $k$ 满足 $|k|\lt200$ ，使方程 $5x^2+kx+12=0$ 至少有一个整数解 $x$ 。 $N$ 是多少？

There are exactly $N$ distinct rational numbers $k$ such that $|k|\lt200$ and $5x^2+kx+12=0$ has at least one integer solution for $x.$ What is $N?$

$6$

$12$

$24$

$48$

$78$

答案：E

知识点：二次方程极限情形界定

难度评级：1990

小提示：

若 $x$ 是整数根，则解出 $k=-\dfrac{5x^2+12}{x}$ $=-\left(5x+\dfrac{12}{x}\right)$ 。

If $x$ is an integer root, solve for $k=-\dfrac{5x^2+12}{x}$ $=-\left(5x+\dfrac{12}{x}\right)$

大提示：

要求 $|k|=5|x|+\dfrac{12}{|x|}\lt200$ ，并检查所得 $k$ 值互不相同。

Require $|k|=5|x|+\dfrac{12}{|x|}\lt200$ , and check the resulting values of $k$ are all distinct

解答：

若整数 $x$ 是根，则 $k=-\left(5x+\dfrac{12}{x}\right)$ ，所以 $x\ne0$ 。对 $x\ge2$ ， $|k|=5|x|+\dfrac{12}{|x|}$ 递增； $|x|=39$ 时 $|k|\approx195.3\lt200$ 而 $|x|=40$ 时 $|k|\gt200$ 。

因此 $x$ 可取 $\pm1,\pm2,\dots,\pm39$ ，共 $78$ 个值。若两个不同整数 $a\ne b$ 给出相同的 $k$ 则会使 $5a+\tfrac{12}{a}=5b+\tfrac{12}{b}$ ，从而推出 $5ab=12$ 。这没有整数解，所以所有 $78$ 个 $k$ 互不相同。

所以正确答案是 E。

If an integer $x$ is a root, then $k=-\left(5x+\dfrac{12}{x}\right),$ so $x\ne0.$ For $x\ge2,$ $|k|=5|x|+\dfrac{12}{|x|}$ increases, and $|x|=39$ gives $|k|\approx195.3\lt200,$ while $|x|=40$ gives $|k|\gt200.$

Thus $x$ ranges over $\pm1,\pm2,\dots,\pm39,$ which is $78$ values. If two integers $a\ne b$ gave the same $k,$ then $5a+\tfrac{12}{a}=5b+\tfrac{12}{b}$ forces $5ab=12,$ which has no integer solutions, so all $78$ values of $k$ are distinct.

Thus, the correct answer is E.

2014 AMC 12A 第 19 题

答案：E

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题