Question

在展开式 $\begin{aligned} &\left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{27}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{14}\right)^2\text{，} \end{aligned}$ 中， $x^{28}$ 的系数是多少？

In the expansion of $\begin{aligned} &\left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{27}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{14}\right)^2, \end{aligned}$ what is the coefficient of $x^{28}?$

$195$

$196$

$224$

$378$

$405$

答案：C

知识点：生成函数分拆与有序分拆

难度评级：1930

小提示：

一项形如 $x^{a+b+c}$ ，其中 $0 \le a \le 27$ ， $0 \le b, c \le 14$ 。

A term has the form $x^{a+b+c}$ with $0 \le a \le 27$ and $0 \le b, c \le 14$

大提示：

对 $(b, c)$ 的 $15^2$ 种选择，除了 $b = c = 0$ 外，都有唯一有效的 $a$ 。

For each of the $15^2$ pairs $(b, c),$ there is a unique valid $a,$ except when $b = c = 0$

解答：

每项为 $x^{a + b + c}$ ，其中 $0 \le a \le 27$ ， $0 \le b, c \le 14$ 。要得到 $x^{28}$ ，必须有 $a = 28 - b - c$ 。

$(b, c)$ 有 $(14 + 1)^2 = 225$ 种选择。除了 $(b, c) = (0, 0)$ 外，所需的 $a = 28 - b - c$ 都在 $[0, 27]$ 中。

因此 $x^{28}$ 的系数为 $225 - 1 = 224$ 。

所以正确答案是 C。

Each term is $x^{a + b + c}$ with $0 \le a \le 27$ and $0 \le b, c \le 14.$ To get $x^{28}$ we need $a = 28 - b - c.$

There are $(14 + 1)^2 = 225$ choices for $(b, c).$ For every choice except $(b, c) = (0, 0),$ the required $a = 28 - b - c$ lies in $[0, 27],$ giving a valid term.

The coefficient of $x^{28}$ is therefore $225 - 1 = 224.$

Thus, C is the correct answer.

2008 AMC 12A 第 19 题

答案：C

难度评级：1930

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题