假设 (2x)/(3) - (x)/(6) 是整数。下列关于 x 的说法哪一个一定正确？

(B) 它是偶数，但不一定是 3 的倍数。

(C) 它是 3 的倍数，但不一定是偶数。

(D) 它是 6 的倍数，但不一定是 12 的倍数。

2008 AMC 12A 真题与在线限时测验

计时

1:15:00

1.

一家面包店老板在上午 $8\!:\!30$ 打开甜甜圈机器。到上午 $11\!:\!10$ ，机器完成了当天工作的三分之一。甜甜圈机器将在什么时间完成这项工作？

A bakery owner turns on his doughnut machine at $8\!:\!30$ am. At $11\!:\!10$ am the machine has completed one third of the day’s job. At what time will the doughnut machine complete the job?

下午 $1\!:\!50$

$1\!:\!50$ pm

下午 $3\!:\!00$

$3\!:\!00$ pm

下午 $3\!:\!30$

$3\!:\!30$ pm

下午 $4\!:\!30$

$4\!:\!30$ pm

下午 $5\!:\!50$

$5\!:\!50$ pm

答案：D

知识点：比与比例日期与时间

难度评级：800

小提示：

先求完成前三分之一工作用了多长时间。

Find how long it took to finish the first third of the job

大提示：

全部工作所需时间是前三分之一所需时间的三倍。

The whole job takes three times as long as that first third

解答：

从上午 $8\!:\!30$ 到 $11\!:\!10$ 是 $2$ 小时 $40$ 分，也就是 $160$ 分钟，完成了三分之一。

整项工作需要 $3 \cdot 160 = 480$ 分钟，即 $8$ 小时。从 $8\!:\!30$ 再过 $8$ 小时，得到 $4\!:\!30$ 。

所以正确答案是 D。

From $8\!:\!30$ am to $11\!:\!10$ am is $2$ hours $40$ minutes, or $160$ minutes, to complete one third of the job.

The whole job then takes $3 \cdot 160 = 480$ minutes, or $8$ hours. Adding $8$ hours to $8\!:\!30$ am gives $4\!:\!30$ pm.

Thus, D is the correct answer.

2.

下式的倒数是多少： $\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3}\text{？}$

What is the reciprocal of $\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3}?$

$\dfrac{6}{7}$

$\dfrac{7}{6}$

$\dfrac{5}{3}$

$3$

$\dfrac{7}{2}$

答案：A

知识点：分数

难度评级：910

小提示：

先通分相加。

Add the two fractions using a common denominator

大提示：

取倒数就是交换分子和分母。

The reciprocal swaps the numerator and denominator

解答：

先通分相加，得到 $\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{4}{6} = \dfrac{7}{6}\text{。}$

$\dfrac{7}{6}$ 的倒数是 $\dfrac{6}{7}$ 。

所以正确答案是 A。

Using a common denominator, $\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{4}{6} = \dfrac{7}{6}.$

The reciprocal of $\dfrac{7}{6}$ is $\dfrac{6}{7}.$

Thus, A is the correct answer.

3.

假设 $10$ 根香蕉的 $\tfrac{2}{3}$ 与 $8$ 个橙子价值相同。那么 $5$ 根香蕉的 $\tfrac{1}{2}$ 与多少个橙子价值相同？

Suppose that $\tfrac{2}{3}$ of $10$ bananas are worth as much as $8$ oranges. How many oranges are worth as much as $\tfrac{1}{2}$ of $5$ bananas?

$2$

$\dfrac{5}{2}$

$3$

$\dfrac{7}{2}$

$4$

答案：C

知识点：比与比例

难度评级：1100

小提示：

先求一根香蕉相当于多少个橙子。

First find how many oranges a single banana is worth

大提示：

$10$ 根香蕉的 $\tfrac{2}{3}$ 是 $\tfrac{20}{3}$ 根香蕉，相当于 $8$ 个橙子。

$\tfrac{2}{3}$ of $10$ bananas is $\tfrac{20}{3}$ bananas, and these equal $8$ oranges

解答：

因为 $10$ 根香蕉的 $\tfrac{2}{3}$ 是 $\tfrac{20}{3}$ 根，价值 $8$ 个橙子，所以一根香蕉价值 $8 \div \dfrac{20}{3} = \dfrac{24}{20} = \dfrac{6}{5}$ 个橙子。

于是 $5$ 根香蕉的 $\tfrac{1}{2}$ 是 $\tfrac{5}{2}$ 根香蕉，价值 $\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{6}{5} = 3$ 个橙子。

所以正确答案是 C。

Since $\tfrac{2}{3}$ of $10$ bananas is $\tfrac{20}{3}$ bananas, worth $8$ oranges, one banana is worth $8 \div \dfrac{20}{3} = \dfrac{24}{20} = \dfrac{6}{5}$ oranges.

Then $\tfrac{1}{2}$ of $5$ bananas is $\tfrac{5}{2}$ bananas, worth $\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{6}{5} = 3$ oranges.

Thus, C is the correct answer.

4.

下列哪一个等于乘积： $\begin{aligned} &\dfrac{8}{4} \cdot \dfrac{12}{8} \cdot \dfrac{16}{12} \\ &\quad \cdots \dfrac{4n + 4}{4n} \cdots \dfrac{2008}{2004} \end{aligned}\text{？}$

Which of the following is equal to the product $\begin{aligned} &\dfrac{8}{4} \cdot \dfrac{12}{8} \cdot \dfrac{16}{12} \\ &\quad \cdots \dfrac{4n + 4}{4n} \cdots \dfrac{2008}{2004}? \end{aligned}$

$251$

$502$

$1004$

$2008$

$4016$

答案：B

知识点：裂项相消

难度评级：1180

小提示：

每个分母都会和前一个分数的分子约掉。

Each denominator cancels with the numerator of the previous fraction

大提示：

最后只剩最后一个分子和第一个分母。

Only the last numerator and the first denominator survive

解答：

除第一个分母外，每个分母都与前一个分数的分子相消，所以乘积化为 $\dfrac{2008}{4} = 502\text{。}$

所以正确答案是 B。

Every denominator except the first cancels with the numerator of the preceding fraction, so the product collapses to $\dfrac{2008}{4} = 502.$

Thus, B is the correct answer.

5.

假设 $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6}$ 是整数。下列关于 $x$ 的说法哪一个一定正确？

Suppose that $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6}$ is an integer. Which of the following statements must be true about $x?$

它是负数。

It is negative.

它是偶数，但不一定是 $3$ 的倍数。

It is even, but not necessarily a multiple of $3.$

它是 $3$ 的倍数，但不一定是偶数。

It is a multiple of $3,$ but not necessarily even.

它是 $6$ 的倍数，但不一定是 $12$ 的倍数。

It is a multiple of $6,$ but not necessarily a multiple of $12.$

它是 $12$ 的倍数。

It is a multiple of $12.$

答案：B

知识点：代数变形奇偶性

难度评级：1100

小提示：

把两个分数通分合并。

Combine the two fractions over a common denominator

大提示：

化简为 $\dfrac{x}{2}$ ，再判断它在什么整除条件下是整数。

Simplify to $\dfrac{x}{2},$ then decide what divisibility condition makes this an integer

解答：

通分合并可得 $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6} = \dfrac{4x - x}{6} = \dfrac{x}{2}\text{。}$

该式为整数当且仅当 $x$ 是偶数。例如 $x = 4$ 是偶数但不是 $3$ 的倍数，这就排除了其余每一个说法。

所以正确答案是 B。

Combining the fractions, $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6} = \dfrac{4x - x}{6} = \dfrac{x}{2}.$

This is an integer exactly when $x$ is even. The example $x = 4$ is even but not a multiple of $3,$ which rules out every other statement.

Thus, B is the correct answer.

6.

Heather 比较两家商店中一台新电脑的价格。A 店先按标价打 $15\%$ 折扣，再返还 $\$90$ ；B 店对同一标价打 $25\%$ 折扣，没有返还。Heather 在 A 店购买比在 B 店购买节省 $\$15$ 。电脑标价是多少美元？

Heather compares the price of a new computer at two different stores. Store A offers $15\%$ off the sticker price followed by a $\$90$ rebate, and store B offers $25\%$ off the same sticker price with no rebate. Heather saves $\$15$ by buying the computer at store A instead of store B. What is the sticker price of the computer, in dollars?

$750$

$900$

$1000$

$1050$

$1500$

答案：A

知识点：百分数一次方程

难度评级：1270

小提示：

用标价 $x$ 表示两家商店的最终价格。

Write each store’s price in terms of the sticker price $x$

大提示：

A 店价格比 B 店低 $15$ 美元。

Store A’s price is $15$ dollars less than store B’s price

解答：

设标价为 $x$ 美元。A 店价格为 $0.85x - 90$ ，B 店价格为 $0.75x$ 。

因为 A 店便宜 $15$ 美元，所以 $0.85x - 90 = 0.75x - 15\text{，}$ 从而 $0.10x = 75$ ， $x = 750$ 。

所以正确答案是 A。

Let $x$ be the sticker price in dollars. Store A charges $0.85x - 90$ dollars, and store B charges $0.75x$ dollars.

Since store A is $15$ dollars cheaper, $0.85x - 90 = 0.75x - 15,$ so $0.10x = 75$ and $x = 750.$

Thus, A is the correct answer.

7.

Steve 和 LeRoy 在离岸 $1$ 英里的地方钓鱼时，船漏水了，水以每分钟 $10$ 加仑的恒定速度进入船内。若船中进水超过 $30$ 加仑，船就会沉。Steve 以每小时 $4$ 英里的恒定速度划向岸边，同时 LeRoy 把水舀出船。为了在船不沉的情况下到岸，LeRoy 最慢需要以每分钟多少加仑的速度舀水？

While Steve and LeRoy are fishing $1$ mile from shore, their boat springs a leak, and water comes in at a constant rate of $10$ gallons per minute. The boat will sink if it takes in more than $30$ gallons of water. Steve starts rowing toward the shore at a constant rate of $4$ miles per hour while LeRoy bails water out of the boat. What is the slowest rate, in gallons per minute, at which LeRoy can bail if they are to reach the shore without sinking?

$2$

$4$

$6$

$8$

$10$

答案：D

知识点：速率单位换算

难度评级：1310

小提示：

先求到岸需要多少分钟。

Find how many minutes the trip to shore takes

大提示：

水会进入 $15$ 分钟，而船内最多只能剩 $30$ 加仑。

Water enters for $15$ minutes, and at most $30$ gallons may remain in the boat

解答：

以每小时 $4$ 英里划 $1$ 英里，需要 $\tfrac{1}{4}$ 小时，即 $15$ 分钟。这段时间进入 $15 \cdot 10 = 150$ 加仑水。

船内最多剩 $30$ 加仑，所以 LeRoy 必须舀出 $150 - 30 = 120$ 加仑，用时 $15$ 分钟，速率为 $\dfrac{120}{15} = 8$ 加仑每分钟。

所以正确答案是 D。

Rowing $1$ mile at $4$ miles per hour takes $\tfrac{1}{4}$ hour, or $15$ minutes. In that time $15 \cdot 10 = 150$ gallons of water enter the boat.

Since at most $30$ gallons may remain, LeRoy must bail $150 - 30 = 120$ gallons in $15$ minutes, a rate of $\dfrac{120}{15} = 8$ gallons per minute.

Thus, D is the correct answer.

8.

一个立方体的表面积是体积为 $1$ 的立方体表面积的两倍。这个立方体的体积是多少？

What is the volume of a cube whose surface area is twice that of a cube with volume $1?$

$\sqrt{2}$

$2$

$2\sqrt{2}$

$4$

$8$

答案：C

知识点：正方体表面积体积

难度评级：1380

小提示：

体积为 $1$ 的立方体表面积为 $6$ 。

A cube with volume $1$ has surface area $6$

大提示：

若较大立方体边长为 $s$ ，则 $6s^2 = 12$ 。

If the larger cube has side $s,$ then $6s^2 = 12$

解答：

体积为 $1$ 的立方体边长为 $1$ ，表面积为 $6$ 。所求立方体表面积为 $12$ 。若边长为 $s$ ，则 $6s^2 = 12$ ，所以 $s = \sqrt{2}$ 。

其体积为 $(\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}\text{。}$

所以正确答案是 C。

The cube with volume $1$ has side $1$ and surface area $6.$ The larger cube has surface area $12,$ so if its side is $s,$ then $6s^2 = 12,$ giving $s = \sqrt{2}.$

Its volume is $(\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}.$

Thus, C is the correct answer.

9.

较老的电视屏幕宽高比为 $4:3$ 。也就是说，宽与高之比为 $4:3$ 。许多电影的宽高比不是 $4:3$ ，所以有时会用“信箱式”显示，也就是在屏幕顶部和底部加等高黑条，如图。假设一部电影宽高比为 $2:1$ ，在一台对角线为 $27$ 英寸的旧电视上播放。每条黑条的高度是多少英寸？

Older television screens have an aspect ratio of $4:3.$ That is, the ratio of the width to the height is $4:3.$ The aspect ratio of many movies is not $4:3,$ so they are sometimes shown on a television screen by “letterboxing” — darkening strips of equal height at the top and bottom of the screen, as shown. Suppose a movie has an aspect ratio of $2:1$ and is shown on an older television screen with a $27$ -inch diagonal. What is the height, in inches, of each darkened strip?

$2$

$2.25$

$2.5$

$2.7$

$3$

答案：D

知识点：勾股数比与比例

难度评级：1410

小提示：

屏幕宽、高、对角线成 $4:3:5$ 的比例。

The screen’s width, height, and diagonal are in ratio $4:3:5$

大提示：

电影画面使用完整宽度，高度等于宽度的一半。

The lit movie region keeps the full width but has height equal to half that width

解答：

屏幕高、宽、对角线成 $3:4:5$ ，所以高度为 $\tfrac{3}{5} \cdot 27 = 16.2$ 英寸，宽度为 $\tfrac{4}{5} \cdot 27 = 21.6$ 英寸。

电影宽高比为 $2:1$ ，使用完整宽度时高度为 $\tfrac{21.6}{2} = 10.8$ 英寸。

因此每条黑条的高度为 $\dfrac{16.2 - 10.8}{2} = 2.7$ 英寸。

所以正确答案是 D。

Since the sides and diagonal are in ratio $3:4:5,$ the height is $\tfrac{3}{5} \cdot 27 = 16.2$ inches and the width is $\tfrac{4}{5} \cdot 27 = 21.6$ inches.

The movie has aspect ratio $2:1,$ so its height is $\tfrac{21.6}{2} = 10.8$ inches.

Each darkened strip therefore has height $\dfrac{16.2 - 10.8}{2} = 2.7$ inches.

Thus, D is the correct answer.

10.

Doug 粉刷一个房间需要 $5$ 小时。Dave 粉刷同一个房间需要 $7$ 小时。Doug 和 Dave 一起粉刷房间，并午休一小时。设 $t$ 为他们完成工作所需总时间（小时），包括午饭时间。 $t$ 满足下列哪个方程？

Doug can paint a room in $5$ hours. Dave can paint the same room in $7$ hours. Doug and Dave paint the room together and take a one-hour break for lunch. Let $t$ be the total time, in hours, required for them to complete the job working together, including lunch. Which of the following equations is satisfied by $t?$

$\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)(t + 1) = 1$

$\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)t + 1 = 1$

$\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)t = 1$

$\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)(t - 1) = 1$

$(5 + 7)t = 1$

答案：D

知识点：速率一次方程

难度评级：1380

小提示：

他们一起每小时粉刷 $\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}$ 个房间。

Together they paint $\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}$ of the room each hour

大提示：

总时间 $t$ 中有一小时是午饭，所以实际工作时间为 $t - 1$ 小时。

Of the $t$ hours, one hour is lunch, so they actually work $t - 1$ hours

解答：

Doug 每小时粉刷 $\tfrac{1}{5}$ 个房间，Dave 每小时粉刷 $\tfrac{1}{7}$ 个房间，所以合速度为 $\tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{7}$ 个房间每小时。

总时间为 $t$ ，其中 $1$ 小时用于午饭，所以实际工作 $t - 1$ 小时。完成一个房间给出 $\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)(t - 1) = 1\text{。}$

所以正确答案是 D。

In one hour Doug paints $\tfrac{1}{5}$ of the room and Dave paints $\tfrac{1}{7},$ so together they paint $\tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{7}$ of the room per hour.

Of the total time $t,$ one hour is spent at lunch, so they work for $t - 1$ hours. The fraction painted must equal $1,$ giving $\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)(t - 1) = 1.$

Thus, D is the correct answer.

11.

三个立方体都由图中展开图折成。然后把它们一个叠一个放在桌上，使 $13$ 个可见数字之和尽可能大。这个和是多少？

Three cubes are each formed from the pattern shown. They are then stacked on a table one on top of another so that the $13$ visible numbers have the greatest possible sum. What is that sum?

$154$

$159$

$164$

$167$

$189$

答案：C

知识点：正方体最优化

难度评级：1560

小提示：

每个立方体上相对面为 $1$ 与 $32$ ， $2$ 与 $16$ ， $4$ 与 $8$ 。

On each cube the opposite faces are $1$ & $32,$ $2$ & $16,$ and $4$ & $8$

大提示：

下面两个立方体各隐藏一对相对面；最上面的立方体只隐藏底面。

The two lower cubes each hide a pair of opposite faces; the top cube hides only its bottom face

解答：

每个立方体六面数字和为 $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63$ 。由展开图，相对面分别是 $1$ 与 $32$ ， $2$ 与 $16$ ， $4$ 与 $8$ 。

下面两个立方体各隐藏一对上下相对面，应隐藏和最小的 $4 + 8 = 12$ 。最上面立方体只隐藏底面，应隐藏 $1$ 。

最大可见和为 $\begin{aligned} &3 \cdot 63 - 2 \cdot 12 - 1 \\ &= 189 - 24 - 1 \\ &= 164 \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 C。

The six faces of each cube sum to $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63.$ From the pattern, the pairs of opposite faces are $1$ & $32,$ $2$ & $16,$ and $4$ & $8.$

Each of the two lower cubes hides a pair of opposite faces (top and bottom); hiding the pair $4 + 8 = 12$ is best. The top cube hides only its bottom face, so hide the $1.$

The greatest sum is $\begin{aligned} &3 \cdot 63 - 2 \cdot 12 - 1 \\ &= 189 - 24 - 1 \\ &= 164. \end{aligned}$

Thus, C is the correct answer.

12.

函数 $f$ 的定义域为 $[0, 2]$ ，值域为 $[0, 1]$ 。（记号 $[a, b]$ 表示 $\{x : a \le x \le b\}$ 。）那么由下式定义的函数 $g$ ，其定义域和值域分别是什么： $g(x) = 1 - f(x + 1)\text{？}$

A function $f$ has domain $[0, 2]$ and range $[0, 1].$ (The notation $[a, b]$ denotes $\{x : a \le x \le b\}.$ ) What are the domain and range, respectively, of the function $g$ defined by $g(x) = 1 - f(x + 1)?$

$[-1, 1]$ ， $[-1, 0]$

$[-1, 1],$ $[-1, 0]$

$[-1, 1]$ ， $[0, 1]$

$[-1, 1],$ $[0, 1]$

$[0, 2]$ ， $[-1, 0]$

$[0, 2],$ $[-1, 0]$

$[1, 3]$ ， $[-1, 0]$

$[1, 3],$ $[-1, 0]$

$[1, 3]$ ， $[0, 1]$

$[1, 3],$ $[0, 1]$

答案：B

知识点：函数

难度评级：1620

小提示：

$f(x + 1)$ 有定义当且仅当 $0 \le x + 1 \le 2$ 。

$f(x + 1)$ is defined when $0 \le x + 1 \le 2$

大提示：

从 $1$ 中减去 $f(x + 1) \in [0, 1]$ 会把区间反向，但值域仍是 $[0, 1]$ 。

Subtracting $f(x + 1) \in [0, 1]$ from $1$ reverses the interval but keeps it $[0, 1]$

解答：

$f(x + 1)$ 有定义需要 $0 \le x + 1 \le 2$ ，即 $-1 \le x \le 1$ ，所以 $g$ 的定义域为 $[-1, 1]$ 。

当 $f(x + 1)$ 取遍 $[0, 1]$ 时， $1 - f(x + 1)$ 也取遍 $[0, 1]$ ，所以 $g$ 的值域为 $[0, 1]$ 。

所以正确答案是 B。

The value $f(x + 1)$ is defined when $0 \le x + 1 \le 2,$ that is, $-1 \le x \le 1,$ so the domain of $g$ is $[-1, 1].$

As $f(x + 1)$ ranges over $[0, 1],$ the value $1 - f(x + 1)$ ranges over $[0, 1]$ as well, so the range of $g$ is $[0, 1].$

Thus, B is the correct answer.

13.

点 $A$ 和 $B$ 在以 $O$ 为圆心的圆上，且 $\angle AOB = 60^\circ$ 。第二个圆内切于第一个圆，并与 $OA$ 和 $OB$ 都相切。小圆面积与大圆面积之比是多少？

Points $A$ and $B$ lie on a circle centered at $O,$ and $\angle AOB = 60^\circ.$ A second circle is internally tangent to the first and tangent to both $OA$ and $OB.$ What is the ratio of the area of the smaller circle to that of the larger circle?

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

答案：B

知识点：相切圆特殊直角三角形面积比

难度评级：1620

小提示：

小圆圆心在 $\angle AOB$ 的角平分线上。

The center of the small circle lies on the bisector of $\angle AOB$

大提示：

向 $OA$ 作半径垂线，会得到一个 $30$ - $60$ - $90$ 三角形，其中 $OE = 2r$ 。

Dropping a radius to $OA$ makes a $30$ - $60$ - $90$ triangle in which $OE = 2r$

解答：

设小圆和大圆半径分别为 $r$ 和 $R$ ，小圆圆心为 $E$ 。由对称性， $E$ 在 $\angle AOB$ 的角平分线上，所以 $OE$ 与 $OA$ 成 $30^\circ$ 。

作半径 $ED$ 垂直于 $OA$ ，得到 $30$ - $60$ - $90$ 三角形，所以 $OE = 2 \cdot ED = 2r$ 。两圆内切还给出 $OE = R - r$ 。

于是 $R - r = 2r$ ，所以 $R = 3r$ ， $\tfrac{r}{R} = \tfrac{1}{3}$ 。于是面积之比为 $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}\text{。}$

所以正确答案是 B。

Let $r$ and $R$ be the radii of the smaller and larger circles, and let $E$ be the center of the smaller circle. By symmetry $E$ lies on the bisector of $\angle AOB,$ so $OE$ makes a $30^\circ$ angle with $OA.$

Dropping the radius $ED$ perpendicular to $OA$ gives a $30$ - $60$ - $90$ triangle with $OE = 2 \cdot ED = 2r.$ Since the circles are internally tangent, $OE = R - r.$

Then $R - r = 2r,$ so $R = 3r$ and $\tfrac{r}{R} = \tfrac{1}{3}.$ The ratio of areas is $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}.$

Thus, B is the correct answer.

14.

求下面不等式所定义的区域的面积： $|3x - 18| + |2y + 7| \le 3\text{？}$

What is the area of the region defined by the inequality $|3x - 18| + |2y + 7| \le 3?$

$3$

$\dfrac{7}{2}$

$4$

$\dfrac{9}{2}$

$5$

答案：A

知识点：绝对值菱形面积

难度评级：1660

小提示：

该区域是以 $3x - 18 = 0$ 、 $2y + 7 = 0$ 的交点为中心的菱形。

The region is a rhombus centered where $3x - 18 = 0$ and $2y + 7 = 0$

大提示：

它的水平对角线满足 $x \in [5, 7]$ ，竖直对角线满足 $y \in [-5, -2]$ 。

Its horizontal diagonal spans $x \in [5, 7]$ and its vertical diagonal spans $y \in [-5, -2]$

解答：

该区域是以 $\left(6, -\tfrac{7}{2}\right)$ 为中心的菱形。令 $2y + 7 = 0$ ，得 $|3x - 18| \le 3$ ，所以 $x \in [5, 7]$ ，水平对角线长 $2$ 。

令 $3x - 18 = 0$ ，得 $|2y + 7| \le 3$ ，所以 $y \in [-5, -2]$ ，竖直对角线长 $3$ 。

菱形面积为对角线乘积的一半，即 $\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3\text{。}$

所以正确答案是 A。

The region is a rhombus centered at $\left(6, -\tfrac{7}{2}\right).$ Setting $2y + 7 = 0$ gives $|3x - 18| \le 3,$ so $x \in [5, 7],$ a horizontal diagonal of length $2.$

Setting $3x - 18 = 0$ gives $|2y + 7| \le 3,$ so $y \in [-5, -2],$ a vertical diagonal of length $3.$

The area of the rhombus is half the product of its diagonals, $\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3.$

Thus, A is the correct answer.

15.

设 $k = 2008^2 + 2^{2008}$ 。 $k^2 + 2^k$ 的个位数字是多少？

Let $k = 2008^2 + 2^{2008}.$ What is the units digit of $k^2 + 2^k?$

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

答案：D

知识点：个位数字模幂运算

难度评级：1740

小提示：

$2^n$ 的个位数字按 $2, 4, 8, 6$ 循环，周期为 $4$ 。

The units digit of $2^n$ cycles $2, 4, 8, 6$ with period $4$

大提示：

先求 $k$ 的个位数字，再注意 $k$ 是 $4$ 的倍数。

Find the units digit of $k$ first, then note that $k$ is a multiple of $4$

解答：

$2008^2$ 的个位数字为 $4$ 。因为 $2008$ 是 $4$ 的倍数， $2^{2008}$ 的个位数字为 $6$ 。所以 $k$ 的个位数字为 $0$ ，从而 $k^2$ 的个位数字也为零。

又 $2008^2$ 和 $2^{2008}$ 都是 $4$ 的倍数，故 $k$ 是 $4$ 的倍数，因此 $2^k$ 的个位数字为 $6$ 。

因此 $k^2 + 2^k$ 的个位数字为 $0 + 6 = 6$ 。

所以正确答案是 D。

The units digit of $2008^2$ is $4.$ Since $2008$ is a multiple of $4,$ the units digit of $2^{2008}$ is $6.$ Thus $k$ has units digit $0,$ and so does $k^2.$

Both $2008^2$ and $2^{2008}$ are multiples of $4,$ so $k$ is a multiple of $4.$ Therefore the units digit of $2^k$ is $6.$

The units digit of $k^2 + 2^k$ is then $0 + 6 = 6.$

Thus, D is the correct answer.

16.

数 $\log(a^3 b^7)$ 、 $\log(a^5 b^{12})$ 、 $\log(a^8 b^{15})$ 是一个等差数列的前三项，且该数列第 $12$ 项为 $\log(b^n)$ 。 $n$ 是多少？

The numbers $\log(a^3 b^7),$ $\log(a^5 b^{12}),$ and $\log(a^8 b^{15})$ are the first three terms of an arithmetic sequence, and the $12$ th term of the sequence is $\log(b^n).$ What is $n?$

$40$

$56$

$76$

$112$

$143$

答案：D

知识点：等差数列对数

难度评级：1800

小提示：

把每一项写成 $p \log a + q \log b$ ，并令相邻差相等。

Write each term as $p \log a + q \log b$ and set the consecutive differences equal

大提示：

相邻差相等迫使 $\log a = 2 \log b$ ，从而每项都化为 $\log b$ 的倍数。

Equal differences force $\log a = 2 \log b,$ reducing every term to a multiple of $\log b$

解答：

三项分别为 $3\log a + 7\log b$ 、 $5\log a + 12\log b$ 和 $8\log a + 15\log b$ 。令相邻两项之差相等，得 $\begin{aligned} &2\log a + 5\log b \\ &= 3\log a + 3\log b \end{aligned}\text{，}$ 所以 $\log a = 2\log b$ 。

于是第一项为 $(3 \cdot 2 + 7)\log b = 13\log b$ ，公差为 $(2 \cdot 2 + 5)\log b = 9\log b$ 。

第 $12$ 项为 $\begin{aligned} (13 + 11 \cdot 9)\log b &= 112\log b \\ &= \log(b^{112}) \end{aligned}\text{，}$ 所以 $n = 112$ 。

所以正确答案是 D。

The three terms are $3\log a + 7\log b,$ $5\log a + 12\log b,$ and $8\log a + 15\log b.$ Setting the two consecutive differences equal, $\begin{aligned} &2\log a + 5\log b \\ &= 3\log a + 3\log b, \end{aligned}$ so $\log a = 2\log b.$

The first term is then $(3 \cdot 2 + 7)\log b = 13\log b,$ and the common difference is $(2 \cdot 2 + 5)\log b = 9\log b.$

The $12$ th term is $\begin{aligned} (13 + 11 \cdot 9)\log b &= 112\log b \\ &= \log(b^{112}), \end{aligned}$ so $n = 112.$

Thus, D is the correct answer.

17.

整数数列 $a_1$ ， $a_2$ ， $\ldots$ 按如下规则确定：若 $a_{n-1}$ 为偶数，则 $a_n = \frac{a_{n-1}}{2}$ ；若 $a_{n-1}$ 为奇数，则 $a_n = 3a_{n-1} + 1$ 。有多少个正整数 $a_1 \le 2008$ 满足 $a_1$ 小于 $a_2$ ， $a_3$ 和 $a_4$ 中的每一个？

Let $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ be a sequence of integers determined by the rule $a_n = \frac{a_{n-1}}{2}$ if $a_{n-1}$ is even and $a_n = 3a_{n-1} + 1$ if $a_{n-1}$ is odd. For how many positive integers $a_1 \le 2008$ is it true that $a_1$ is less than each of $a_2,$ $a_3,$ and $a_4?$

$250$

$251$

$501$

$502$

$1004$

答案：D

知识点：递推模运算分类讨论

难度评级：1870

小提示：

若 $a_1$ 为偶数，则 $a_2 \lt a_1$ ，所以 $a_1$ 必须是奇数。

If $a_1$ is even then $a_2 \lt a_1,$ so $a_1$ must be odd

大提示：

在奇数情形中，按 $a_1 \equiv 1$ 或 $a_1 \equiv 3 \pmod 4$ 分类。

Split the odd case according to whether $a_1 \equiv 1$ or $a_1 \equiv 3 \pmod 4$

解答：

若 $a_1$ 为偶数，则 $a_2 = \frac{a_1}{2} \lt a_1$ ，条件失败。

若 $a_1 \equiv 1 \pmod 4$ ，则 $a_2 = 3a_1 + 1$ 是 $4$ 的倍数， $a_3 = \frac{3a_1 + 1}{2}$ ，且 $a_4 = \frac{3a_1 + 1}{4} \le a_1$ ，条件也失败。

若 $a_1 \equiv 3 \pmod 4$ ，则 $a_2$ 为偶数但不是 $4$ 的倍数，所以 $a_3 = \frac{3a_1 + 1}{2} \gt a_1$ ，且 $a_3$ 为奇数， $a_4 = 3a_3 + 1 \gt a_3 \gt a_1$ 。此时条件成立。

满足条件的 $a_1 \le 2008$ 且 $a_1 \equiv 3 \pmod 4$ 的数恰有 $\tfrac{2008}{4} = 502$ 个。

所以正确答案是 D。

If $a_1$ is even, then $a_2 = \frac{a_1}{2} \lt a_1,$ so the condition fails.

If $a_1 \equiv 1 \pmod 4,$ then $a_2 = 3a_1 + 1$ is a multiple of $4,$ so $a_3 = \frac{3a_1 + 1}{2}$ and $a_4 = \frac{3a_1 + 1}{4} \le a_1,$ and again the condition fails.

If $a_1 \equiv 3 \pmod 4,$ then $a_2$ is even but not a multiple of $4,$ so $a_3 = \frac{3a_1 + 1}{2} \gt a_1,$ and $a_3$ is odd, giving $a_4 = 3a_3 + 1 \gt a_3 \gt a_1.$ The condition holds.

Exactly $\tfrac{2008}{4} = 502$ values of $a_1 \le 2008$ satisfy $a_1 \equiv 3 \pmod 4.$

Thus, D is the correct answer.

18.

边长为 $5$ ， $6$ 和 $7$ 的三角形 $ABC$ 有一个顶点在正 $x$ -轴上，一个顶点在正 $y$ -轴上，一个顶点在正 $z$ -轴上。设 $O$ 为原点。四面体 $OABC$ 的体积是多少？

Triangle $ABC,$ with sides of length $5,$ $6,$ and $7,$ has one vertex on the positive $x$ -axis, one on the positive $y$ -axis, and one on the positive $z$ -axis. Let $O$ be the origin. What is the volume of tetrahedron $OABC?$

$\sqrt{85}$

$\sqrt{90}$

$\sqrt{95}$

$10$

$\sqrt{105}$

答案：C

知识点：立体几何方程组体积

难度评级：1910

小提示：

令三个顶点为 $(a, 0, 0)$ 、 $(0, b, 0)$ 、 $(0, 0, c)$ ，写出三个边长方程。

Let the vertices be $(a, 0, 0),$ $(0, b, 0),$ $(0, 0, c)$ and write the three side-length equations

大提示：

三个方程相加得到 $a^2 + b^2 + c^2$ ，而体积为 $\tfrac{1}{6}abc$ 。

Adding the three equations gives $a^2 + b^2 + c^2,$ and the volume is $\tfrac{1}{6}abc$

解答：

设 $A = (a, 0, 0)$ 、 $B = (0, b, 0)$ 、 $C = (0, 0, c)$ 。于是 $\begin{aligned} a^2 + b^2 &= 25, \\ b^2 + c^2 &= 36, \\ a^2 + c^2 &= 49 \end{aligned}\text{。}$

将三个边长方程相加得 $a^2 + b^2 + c^2 = 55$ ，所以 $a^2 = 19$ ， $b^2 = 6$ ， $c^2 = 30$ 。

体积为 $\begin{aligned} \dfrac{1}{6}abc &= \dfrac{1}{6}\sqrt{19 \cdot 6 \cdot 30} \\ &= \dfrac{1}{6}\sqrt{3420} \\ &= \sqrt{95} \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 C。

Let $A = (a, 0, 0),$ $B = (0, b, 0),$ $C = (0, 0, c).$ Assigning the sides, $\begin{aligned} a^2 + b^2 &= 25, \\ b^2 + c^2 &= 36, \\ a^2 + c^2 &= 49. \end{aligned}$

Adding gives $a^2 + b^2 + c^2 = 55,$ so $a^2 = 19,$ $b^2 = 6,$ and $c^2 = 30.$

The volume is $\begin{aligned} \dfrac{1}{6}abc &= \dfrac{1}{6}\sqrt{19 \cdot 6 \cdot 30} \\ &= \dfrac{1}{6}\sqrt{3420} \\ &= \sqrt{95}. \end{aligned}$

Thus, C is the correct answer.

19.

在展开式 $\begin{aligned} &\left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{27}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{14}\right)^2\text{，} \end{aligned}$ 中， $x^{28}$ 的系数是多少？

In the expansion of $\begin{aligned} &\left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{27}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{14}\right)^2, \end{aligned}$ what is the coefficient of $x^{28}?$

$195$

$196$

$224$

$378$

$405$

答案：C

知识点：生成函数分拆与有序分拆

难度评级：1930

小提示：

一项形如 $x^{a+b+c}$ ，其中 $0 \le a \le 27$ ， $0 \le b, c \le 14$ 。

A term has the form $x^{a+b+c}$ with $0 \le a \le 27$ and $0 \le b, c \le 14$

大提示：

对 $(b, c)$ 的 $15^2$ 种选择，除了 $b = c = 0$ 外，都有唯一有效的 $a$ 。

For each of the $15^2$ pairs $(b, c),$ there is a unique valid $a,$ except when $b = c = 0$

解答：

每项为 $x^{a + b + c}$ ，其中 $0 \le a \le 27$ ， $0 \le b, c \le 14$ 。要得到 $x^{28}$ ，必须有 $a = 28 - b - c$ 。

$(b, c)$ 有 $(14 + 1)^2 = 225$ 种选择。除了 $(b, c) = (0, 0)$ 外，所需的 $a = 28 - b - c$ 都在 $[0, 27]$ 中。

因此 $x^{28}$ 的系数为 $225 - 1 = 224$ 。

所以正确答案是 C。

Each term is $x^{a + b + c}$ with $0 \le a \le 27$ and $0 \le b, c \le 14.$ To get $x^{28}$ we need $a = 28 - b - c.$

There are $(14 + 1)^2 = 225$ choices for $(b, c).$ For every choice except $(b, c) = (0, 0),$ the required $a = 28 - b - c$ lies in $[0, 27],$ giving a valid term.

The coefficient of $x^{28}$ is therefore $225 - 1 = 224.$

Thus, C is the correct answer.

20.

三角形 $ABC$ 中， $AC = 3$ 、 $BC = 4$ 、 $AB = 5$ 。点 $D$ 在 $AB$ 上，且 $CD$ 平分直角。 $\triangle ADC$ 和 $\triangle BCD$ 的内切圆半径分别为 $r_a$ 和 $r_b$ ，求 $\frac{r_a}{r_b}$ 。

Triangle $ABC$ has $AC = 3,$ $BC = 4,$ and $AB = 5.$ Point $D$ is on $AB,$ and $CD$ bisects the right angle. The inscribed circles of $\triangle ADC$ and $\triangle BCD$ have radii $r_a$ and $r_b,$ respectively. What is $\frac{r_a}{r_b}?$

$\dfrac{1}{28}(10 - \sqrt{2})$

$\dfrac{3}{56}(10 - \sqrt{2})$

$\dfrac{1}{14}(10 - \sqrt{2})$

$\dfrac{5}{56}(10 - \sqrt{2})$

$\dfrac{3}{28}(10 - \sqrt{2})$

答案：E

知识点：角平分线定理内切圆、内心与内切圆半径面积比

难度评级：2100

小提示：

由角平分线定理， $AD:DB = CA:CB = 3:4$ 。

By the Angle Bisector Theorem, $AD:DB = CA:CB = 3:4$

大提示：

对每个小三角形使用 $r = \frac{\text{面积}}{s}$ ；两个三角形共享底边 $CD$ 。

For each small triangle $r = \frac{\text{area}}{s};$ the two triangles share the base $CD$

解答：

由角平分线定理， $AD:DB = CA:CB = 3:4$ ，所以 $AD = \tfrac{15}{7}$ ， $BD = \tfrac{20}{7}$ 。两个小三角形 $\triangle ADC$ 和 $\triangle BCD$ 共用底边 $CD$ ，面积比为 $3:4$ ，面积分别为 $\tfrac{18}{7}$ 和 $\tfrac{24}{7}$ 。

将 $\triangle ABC$ 沿 $CD$ 分割，该线段与两条直角边都成 $45^\circ$ ，于是 $\dfrac{3 \cdot CD}{2\sqrt{2}} + \dfrac{4 \cdot CD}{2\sqrt{2}} = 6\text{，}$ 所以 $CD = \tfrac{12\sqrt{2}}{7}$ 。

两个三角形的半周长分别为 $\begin{aligned} s_a &= \dfrac{6}{7}(3 + \sqrt{2}), \\ s_b &= \dfrac{6}{7}(4 + \sqrt{2}) \end{aligned}\text{。}$ 利用 $r = \frac{\text{面积}}{s}$ ，可得 $\begin{aligned} \dfrac{r_a}{r_b} &= \dfrac{[ADC]}{[BCD]} \cdot \dfrac{s_b}{s_a} \\ &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}} \end{aligned}\text{，}$

有理化得 $\dfrac{4 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}} = \dfrac{10 - \sqrt{2}}{7}$ ，因此 $\begin{aligned} \dfrac{r_a}{r_b} &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{10 - \sqrt{2}}{7} \\ &= \dfrac{3}{28}(10 - \sqrt{2}) \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 E。

By the Angle Bisector Theorem, $AD:DB = CA:CB = 3:4,$ so $AD = \tfrac{15}{7}$ and $BD = \tfrac{20}{7}.$ The areas of $\triangle ADC$ and $\triangle BCD$ share base $CD,$ so they are in ratio $3:4,$ namely $\tfrac{18}{7}$ and $\tfrac{24}{7}.$

Splitting $\triangle ABC$ along $CD,$ which meets each leg at $45^\circ,$ gives $\dfrac{3 \cdot CD}{2\sqrt{2}} + \dfrac{4 \cdot CD}{2\sqrt{2}} = 6,$ so $CD = \tfrac{12\sqrt{2}}{7}.$

The two semiperimeters are $\begin{aligned} s_a &= \dfrac{6}{7}(3 + \sqrt{2}), \\ s_b &= \dfrac{6}{7}(4 + \sqrt{2}). \end{aligned}$ Using $r = \frac{\text{area}}{s},$ $\begin{aligned} \dfrac{r_a}{r_b} &= \dfrac{[ADC]}{[BCD]} \cdot \dfrac{s_b}{s_a} \\ &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}}, \end{aligned}$

Rationalizing, $\dfrac{4 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}} = \dfrac{10 - \sqrt{2}}{7},$ so $\begin{aligned} \dfrac{r_a}{r_b} &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{10 - \sqrt{2}}{7} \\ &= \dfrac{3}{28}(10 - \sqrt{2}). \end{aligned}$

Thus, E is the correct answer.

21.

排列 $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)$ 是 $(1, 2, 3, 4, 5)$ 的一个排列。若 $a_1 + a_2 \lt a_4 + a_5$ ，称它为尾重排列。尾重排列有多少个？

A permutation $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)$ of $(1, 2, 3, 4, 5)$ is heavy-tailed if $a_1 + a_2 \lt a_4 + a_5.$ What is the number of heavy-tailed permutations?

$36$

$40$

$44$

$48$

$52$

答案：D

知识点：排列对称性补集计数

难度评级：2050

小提示：

由对称性， $a_1 + a_2 \lt a_4 + a_5$ 与 $a_1 + a_2 \gt a_4 + a_5$ 出现次数相同。

By symmetry, $a_1 + a_2 \lt a_4 + a_5$ and $a_1 + a_2 \gt a_4 + a_5$ occur equally often

大提示：

先数平衡排列 $a_1 + a_2 = a_4 + a_5$ ；此时 $a_3 \in \{1, 3, 5\}$ 。

Count the balanced permutations $a_1 + a_2 = a_4 + a_5;$ here $a_3 \in \{1, 3, 5\}$

解答：

称满足 $a_1 + a_2 = a_4 + a_5$ 的排列为平衡排列。把排列反向会交换两种严格不等的情形，所以尾重排列与头重排列的个数相同。

总和 $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ 是奇数，所以在平衡排列中 $a_3$ 必须是奇数，即 $1, 3, 5$ 之一。对每种选择，剩下的四个数唯一地分成两组和相等的数对。

这四个数中任何一个都可以作 $a_1$ （于是 $a_2$ 随之确定），剩下两个数中任何一个都可以作 $a_4$ （于是 $a_5$ 随之确定），共得 $3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ 个平衡排列。

非平衡排列有 $120 - 24 = 96$ 个，两种严格不等情形各占一半，所以有 $\tfrac{96}{2} = 48$ 个尾重排列。

所以正确答案是 D。

Call a permutation balanced if $a_1 + a_2 = a_4 + a_5.$ Reversing the entries swaps the two strict cases, so heavy-tailed and heavy-headed permutations are equally numerous.

The total $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ is odd, so in a balanced permutation $a_3$ must be odd, one of $1, 3, 5.$ For each choice, the remaining four numbers split uniquely into two equal-sum pairs.

Any of the four can be $a_1$ (fixing $a_2$ ), and either remaining number can be $a_4$ (fixing $a_5$ ), giving $3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ balanced permutations.

The other $120 - 24 = 96$ permutations split evenly, so there are $\tfrac{96}{2} = 48$ heavy-tailed permutations.

Thus, D is the correct answer.

22.

一个圆桌半径为 $4$ 。桌上放置六个矩形餐垫。每个餐垫宽 $1$ 、长 $x$ ，如图。每个餐垫有两个角在桌边上，这两个角是同一条长为 $x$ 的边的端点。此外，餐垫的位置使得每个内侧角都与相邻餐垫的一个内侧角接触。求 $x$ ？

A round table has radius $4.$ Six rectangular place mats are placed on the table. Each place mat has width $1$ and length $x$ as shown. They are positioned so that each mat has two corners on the edge of the table, these two corners being endpoints of the same side of length $x.$ Further, the mats are positioned so that the inner corners each touch an inner corner of an adjacent mat. What is $x?$

$2\sqrt{5} - \sqrt{3}$

$3$

$\dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$

$2\sqrt{3}$

$\dfrac{5 + 2\sqrt{3}}{2}$

答案：C

知识点：圆等腰三角形勾股定理

难度评级：2120

小提示：

对一个餐垫，设 $P, Q$ 为外侧角， $R$ 为与 $P$ 直径相对的点；则 $\triangle PQR$ 是直角三角形且 $PR = 8$ 。

For one mat, let $P, Q$ be its outer corners and $R$ the point diametrically opposite $P;$ then $\triangle PQR$ is right-angled with $PR = 8$

大提示：

内侧角形成顶角 $120^\circ$ 的等腰三角形，贡献长度 $\sqrt{3}\,x$ 。

The inner corners form isosceles triangles with vertex angle $120^\circ,$ contributing a segment of length $\sqrt{3}\,x$

解答：

取一个餐垫，外侧两角为 $P$ 和 $Q$ ，令 $R$ 是圆桌边上与 $P$ 直径相对的点。则 $PR = 8$ 为直径，所以 $\triangle PQR$ 在 $Q$ 处为直角，且 $PQ = x$ 。

沿 $QR$ 方向，相邻餐垫的内角形成两边长为 $x$ 、顶角为 $120^\circ$ 的等腰三角形，其底边为 $\sqrt{3}\,x$ 。因此 $QR = \sqrt{3}\,x + 2$ 。

勾股定理给出 $x^2 + \left(\sqrt{3}\,x + 2\right)^2 = 64\text{，}$ 化简为 $x^2 + \sqrt{3}\,x - 15 = 0$ 。

取正根， $x = \dfrac{-\sqrt{3} + \sqrt{63}}{2} = \dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}\text{。}$

所以正确答案是 C。

Take one mat with outer corners $P$ and $Q,$ and let $R$ be the point of the table’s edge diametrically opposite $P.$ Then $PR = 8$ is a diameter, so $\triangle PQR$ has a right angle at $Q,$ with $PQ = x.$

Along $QR,$ the inner corners of neighboring mats meet in an isosceles triangle with two sides of length $x$ and vertex angle $120^\circ,$ whose base is $\sqrt{3}\,x.$ Hence $QR = \sqrt{3}\,x + 2.$

The Pythagorean Theorem gives $x^2 + \left(\sqrt{3}\,x + 2\right)^2 = 64,$ which simplifies to $x^2 + \sqrt{3}\,x - 15 = 0.$

Taking the positive root, $x = \dfrac{-\sqrt{3} + \sqrt{63}}{2} = \dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}.$

Thus, C is the correct answer.

23.

方程 $z^4 + 4z^3 i - 6z^2 - 4zi - i = 0$ 的解是复平面中一个凸多边形的顶点。该多边形面积是多少？

The solutions of the equation $z^4 + 4z^3 i - 6z^2 - 4zi - i = 0$ are the vertices of a convex polygon in the complex plane. What is the area of the polygon?

$2^{\frac{5}{8}}$

$2^{\frac{3}{4}}$

$2$

$2^{\frac{5}{4}}$

$2^{\frac{3}{2}}$

答案：D

知识点：二项式定理复数单位根

难度评级：2240

小提示：

两边加上 $1 + i$ ，识别一个四次幂。

Add $1 + i$ to both sides to recognize a perfect fourth power

大提示：

$z + i$ 的四个值等距分布在半径 $2^{\frac{1}{8}}$ 的圆上，形成一个正方形。

The four values of $z + i$ lie equally spaced on a circle of radius $2^{\frac{1}{8}},$ forming a square

解答：

两边加上 $1 + i$ ，左边变为 $\begin{aligned} &z^4 + 4z^3 i - 6z^2 - 4zi + 1 \\ &= (z + i)^4 \end{aligned}\text{，}$ 所以 $(z + i)^4 = 1 + i$ 。

令 $w = z + i$ 。四个解等距分布在半径 $|1 + i|^{\frac{1}{4}} = (2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8}}$ 的圆上，形成正方形；减去 $i$ 只会平移图形。

该正方形的外接圆半径为 $2^{\frac{1}{8}}$ ，所以对角线为 $2 \cdot 2^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{9}{8}}$ ，边长为 $\tfrac{2^{\frac{9}{8}}}{\sqrt{2}} = 2^{\frac{5}{8}}$ 。

面积为 $\left(2^{\frac{5}{8}}\right)^2 = 2^{\frac{5}{4}}\text{。}$

所以正确答案是 D。

Adding $1 + i$ to both sides, the left side becomes $\begin{aligned} &z^4 + 4z^3 i - 6z^2 - 4zi + 1 \\ &= (z + i)^4, \end{aligned}$ so $(z + i)^4 = 1 + i.$

The four solutions for $w = z + i$ are equally spaced on a circle of radius $|1 + i|^{\frac{1}{4}} = (2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8}},$ and they form a square. Subtracting $i$ merely translates it.

A square inscribed in a circle of radius $2^{\frac{1}{8}}$ has diagonal $2 \cdot 2^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{9}{8}},$ so its side is $\tfrac{2^{\frac{9}{8}}}{\sqrt{2}} = 2^{\frac{5}{8}}.$

The area is $\left(2^{\frac{5}{8}}\right)^2 = 2^{\frac{5}{4}}.$

Thus, D is the correct answer.

24.

三角形 $ABC$ 中， $\angle C = 60^\circ$ ， $BC = 4$ 。点 $D$ 是 $BC$ 的中点。求 $\tan(\angle BAD)$ 的最大可能值。

Triangle $ABC$ has $\angle C = 60^\circ$ and $BC = 4.$ Point $D$ is the midpoint of $BC.$ What is the largest possible value of $\tan(\angle BAD)?$

$\dfrac{\sqrt{3}}{6}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2} - 3}$

$1$

答案：D

知识点：坐标几何三角恒等式最优化

难度评级：2380

小提示：

取 $C = (0, 0)$ 、 $B = (2, 2\sqrt{3})$ 、 $A = (x, 0)$ ，其中 $x \gt 0$ 。

Place $C = (0, 0),$ $B = (2, 2\sqrt{3}),$ and $A = (x, 0)$ with $x \gt 0$

大提示：

由斜率可得 $\tan(\angle BAD) = \dfrac{\sqrt{3}\,x}{x^2 - 3x + 8}$ ，再对 $x$ 最大化。

Using slopes gives $\tan(\angle BAD) = \dfrac{\sqrt{3}\,x}{x^2 - 3x + 8};$ maximize over $x$

解答：

取 $C = (0, 0)$ ， $B = (2, 2\sqrt{3})$ ，使 $\angle C = 60^\circ$ 且 $BC = 4$ ，令 $A = (x, 0)$ ，其中 $x \gt 0$ 。则 $D = (1, \sqrt{3})$ 是 $BC$ 的中点。

向量 $\overrightarrow{AB} = (2-x, 2\sqrt{3})$ 和 $\overrightarrow{AD} = (1-x, \sqrt{3})$ 的叉积的模为 $\sqrt{3}\,x$ ，点积为 $x^2 - 3x + 8$ ，后者恒为正。因此 $\tan(\angle BAD) = \dfrac{\sqrt{3}\,x}{x^2 - 3x + 8}\text{。}$

导数的符号与 $8-x^2$ 相同，所以唯一的最大值在 $x = 2\sqrt{2}$ 处取得。代入得 $\begin{aligned} \tan(\angle BAD) &= \dfrac{2\sqrt{6}}{16 - 6\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{6}}{8 - 3\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2} - 3} \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 D。

Place $C = (0, 0),$ $B = (2, 2\sqrt{3})$ so that $\angle C = 60^\circ$ and $BC = 4,$ and let $A = (x, 0)$ with $x \gt 0.$ Then $D = (1, \sqrt{3})$ is the midpoint of $BC.$

The vectors $\overrightarrow{AB} = (2-x, 2\sqrt{3})$ and $\overrightarrow{AD} = (1-x, \sqrt{3})$ have cross-product magnitude $\sqrt{3}\,x$ and dot product $x^2 - 3x + 8,$ which is always positive. Hence $\tan(\angle BAD) = \dfrac{\sqrt{3}\,x}{x^2 - 3x + 8}.$

The derivative has the sign of $8-x^2,$ so the unique maximum occurs at $x = 2\sqrt{2}.$ Substituting, $\begin{aligned} \tan(\angle BAD) &= \dfrac{2\sqrt{6}}{16 - 6\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{6}}{8 - 3\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2} - 3}. \end{aligned}$

Thus, D is the correct answer.

25.

坐标平面中的点列 $(a_1, b_1)$ ， $(a_2, b_2)$ ， $(a_3, b_3)$ ， $\ldots$ 满足 $\begin{aligned} &(a_{n+1}, b_{n+1}) \\ &= \left(\sqrt{3}\,a_n - b_n,\; \sqrt{3}\,b_n + a_n\right) \\ &\quad (n = 1, 2, 3, \ldots) \end{aligned}$ 已知 $(a_{100}, b_{100}) = (2, 4)$ 。求 $a_1 + b_1$ 。

A sequence $(a_1, b_1),$ $(a_2, b_2),$ $(a_3, b_3),$ $\ldots$ of points in the coordinate plane satisfies $\begin{aligned} &(a_{n+1}, b_{n+1}) \\ &= \left(\sqrt{3}\,a_n - b_n,\; \sqrt{3}\,b_n + a_n\right) \\ &\quad (n = 1, 2, 3, \ldots) \end{aligned}$ Suppose that $(a_{100}, b_{100}) = (2, 4).$ What is $a_1 + b_1?$

$-\dfrac{1}{2^{97}}$

$-\dfrac{1}{2^{99}}$

$0$

$\dfrac{1}{2^{98}}$

$\dfrac{1}{2^{96}}$

答案：D

知识点：复数棣莫弗定理

难度评级：2440

小提示：

写 $z_n = a_n + b_n i$ ；递推变为 $z_{n+1} = z_n(\sqrt{3} + i)$ 。

Write $z_n = a_n + b_n i;$ the recurrence becomes $z_{n+1} = z_n(\sqrt{3} + i)$

大提示：

因为 $\sqrt{3} + i = 2(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ)$ ，对 $(\sqrt{3} + i)^{99}$ 使用棣莫弗定理。

Since $\sqrt{3} + i = 2(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ),$ apply De Moivre’s theorem to $(\sqrt{3} + i)^{99}$

解答：

令 $z_n = a_n + b_n i$ ，则 $\begin{aligned} z_{n+1} &= (\sqrt{3}\,a_n - b_n) \\ &\quad {}+ (\sqrt{3}\,b_n + a_n)i \\ &= (a_n + b_n i)(\sqrt{3} + i)\text{，} \end{aligned}$ 所以 $z_{n+1} = z_n(\sqrt{3} + i)$ ，且 $z_{100} = z_1(\sqrt{3} + i)^{99}$ 。

因为 $\sqrt{3} + i = 2(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ)$ ，棣莫弗定理给出 $(\sqrt{3} + i)^{99}$ $= 2^{99}(\cos 2970^\circ + i\sin 2970^\circ)$ 。而 $2970^\circ$ 与 $90^\circ$ 同终边，所以它等于 $2^{99} i$ 。

于是 $2 + 4i = z_1 \cdot 2^{99} i$ ，所以 $z_1 = \dfrac{2 + 4i}{2^{99} i} = \dfrac{4 - 2i}{2^{99}}\text{。}$

因此 $a_1 = \tfrac{4}{2^{99}}$ ， $b_1 = -\tfrac{2}{2^{99}}$ ，所以 $a_1 + b_1 = \dfrac{2}{2^{99}} = \dfrac{1}{2^{98}}\text{。}$

所以正确答案是 D。

Let $z_n = a_n + b_n i.$ Then $\begin{aligned} z_{n+1} &= (\sqrt{3}\,a_n - b_n) \\ &\quad {}+ (\sqrt{3}\,b_n + a_n)i \\ &= (a_n + b_n i)(\sqrt{3} + i), \end{aligned}$ so $z_{n+1} = z_n(\sqrt{3} + i)$ and $z_{100} = z_1(\sqrt{3} + i)^{99}.$

Since $\sqrt{3} + i = 2(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ),$ De Moivre’s theorem gives $(\sqrt{3} + i)^{99}$ $= 2^{99}(\cos 2970^\circ + i\sin 2970^\circ).$ As $2970^\circ$ is coterminal with $90^\circ,$ this equals $2^{99} i.$

Thus $2 + 4i = z_1 \cdot 2^{99} i,$ so $z_1 = \dfrac{2 + 4i}{2^{99} i} = \dfrac{4 - 2i}{2^{99}}.$

Then $a_1 = \tfrac{4}{2^{99}}$ and $b_1 = -\tfrac{2}{2^{99}},$ so $a_1 + b_1 = \dfrac{2}{2^{99}} = \dfrac{1}{2^{98}}.$

Thus, D is the correct answer.