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2008 AMC 12A 第 13 题

先试着解答 2008 AMC 12A 第 13 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2008 AMC 12A 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

13.

点 AA 和 BB 在以 OO 为圆心的圆上，且 ∠AOB=60∘\angle AOB = 60^\circ。第二个圆内切于第一个圆，并与 OAOA 和 OBOB 都相切。小圆面积与大圆面积之比是多少？

Points AA and BB lie on a circle centered at O,O, and ∠AOB=60∘.\angle AOB = 60^\circ. A second circle is internally tangent to the first and tangent to both OAOA and OB.OB. What is the ratio of the area of the smaller circle to that of the larger circle?

116\dfrac{1}{16}

19\dfrac{1}{9}

18\dfrac{1}{8}

16\dfrac{1}{6}

14\dfrac{1}{4}

答案：B
知识点：相切圆特殊直角三角形面积比
难度评级：1620
小提示：

小圆圆心在 ∠AOB\angle AOB 的角平分线上。

The center of the small circle lies on the bisector of ∠AOB\angle AOB

大提示：

向 OAOA 作半径垂线，会得到一个 3030-6060-9090 三角形，其中 OE=2rOE = 2r。

Dropping a radius to OAOA makes a 3030-6060-9090 triangle in which OE=2rOE = 2r

解答：

设小圆和大圆半径分别为 rr 和 RR，小圆圆心为 EE。由对称性，EE 在 ∠AOB\angle AOB 的角平分线上，所以 OEOE 与 OAOA 成 30∘30^\circ。

作半径 EDED 垂直于 OAOA，得到 3030-6060-9090 三角形，所以 OE=2⋅ED=2rOE = 2 \cdot ED = 2r。两圆内切还给出 OE=R−rOE = R - r。

于是 R−r=2rR - r = 2r，所以 R=3rR = 3r，rR=13\tfrac{r}{R} = \tfrac{1}{3}。于是面积之比为 (13)2=19。 \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}\text{。}

所以正确答案是 B。

Let rr and RR be the radii of the smaller and larger circles, and let EE be the center of the smaller circle. By symmetry EE lies on the bisector of ∠AOB,\angle AOB, so OEOE makes a 30∘30^\circ angle with OA.OA.

Dropping the radius EDED perpendicular to OAOA gives a 3030-6060-9090 triangle with OE=2⋅ED=2r.OE = 2 \cdot ED = 2r. Since the circles are internally tangent, OE=R−r.OE = R - r.

Then R−r=2r,R - r = 2r, so R=3rR = 3r and rR=13.\tfrac{r}{R} = \tfrac{1}{3}. The ratio of areas is (13)2=19. \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}.

Thus, B is the correct answer.

第 12 题#12
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第 14 题#14

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