Question

三角形 $ABC$ 的边长为 $AB = 12$ ， $BC = 24$ ，且 $AC = 18$ 。过 $\triangle ABC$ 内心且平行于 $\overline{BC}$ 的直线分别交 $\overline{AB}$ 于 $M$ ，交 $\overline{AC}$ 于 $N$ 。 $\triangle AMN$ 的周长是多少？

Triangle $ABC$ has side-lengths $AB = 12,$ $BC = 24,$ and $AC = 18.$ The line through the incenter of $\triangle ABC$ parallel to $\overline{BC}$ intersects $\overline{AB}$ at $M$ and $\overline{AC}$ at $N.$ What is the perimeter of $\triangle AMN?$

$27$

$30$

$33$

$36$

$42$

答案：B

知识点：内切圆、内心与内切圆半径平行线等腰三角形

难度评级：1600

小提示：

设 $I$ 为内心。因为 $MN \parallel BC$ ，所以 $\angle MIB$ 等于 $\angle IBC$

Let $I$ be the incenter. Since $MN \parallel BC,$ the angle $\angle MIB$ equals $\angle IBC$

大提示：

这使得 $\triangle MBI$ 为等腰三角形，且 $MB = MI$ ，同理 $NC = NI$

That makes $\triangle MBI$ isosceles with $MB = MI,$ and similarly $NC = NI$

解答：

设 $I$ 为内心。因为 $\overline{BI}$ 平分 $\angle B$ ，且 $MN \parallel BC$ ，由内错角可得 $\angle MIB = \angle IBC = \angle MBI$ ，所以 $\triangle MBI$ 是等腰三角形，且 $MB = MI$ 。同理 $NC = NI$ 。

因此 $\triangle AMN$ 的周长为 $\begin{gathered} AM + MN + NA \\ = AM + (MI + IN) + NA \\ = AM + MB + NC + NA \\ = AB + AC = 12 + 18 = 30 \end{gathered}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

Let $I$ be the incenter. Because $\overline{BI}$ bisects $\angle B$ and $MN \parallel BC,$ alternate angles give $\angle MIB = \angle IBC = \angle MBI,$ so $\triangle MBI$ is isosceles with $MB = MI.$ Similarly $NC = NI.$

Therefore the perimeter of $\triangle AMN$ is $\begin{gathered} AM + MN + NA \\ = AM + (MI + IN) + NA \\ = AM + MB + NC + NA \\ = AB + AC = 12 + 18 = 30. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

2011 AMC 12A 第 13 题

答案：B

难度评级：1600

小提示：

大提示：

解答：

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