Question

若 $f(x) = ax + b$ ，且 $f^{-1}(x) = bx + a$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为实数，则 $a + b$ 的值是多少？

If $f(x) = ax + b$ and $f^{-1}(x) = bx + a$ with $a$ and $b$ real, what is the value of $a + b?$

$-2$

$-1$

$0$

$1$

$2$

答案：A

知识点：函数方程组

难度评级：1580

小提示：

使用 $f(f^{-1}(x)) = x$ 。

Use $f(f^{-1}(x)) = x$

大提示：

展开 $a(bx + a) + b = x$ ，得到 $ab = 1$ 和 $a^2 + b = 0$ 。

Expanding $a(bx + a) + b = x$ gives $ab = 1$ and $a^2 + b = 0$

解答：

因为 $f(f^{-1}(x)) = x$ ，所以 $a(bx + a) + b = x$ 。比较系数得 $ab = 1$ 和 $a^2 + b = 0$ 。于是 $b = \frac{1}{a}$ ，且 $a^2 + \frac{1}{a} = 0$ ，所以 $a^3 = -1$ 得到 $a = -1$ 、 $b = -1$ 。因此 $a + b = -2$ 。

因此正确答案是 A。

Since $f(f^{-1}(x)) = x,$ we have $a(bx + a) + b = x.$ Matching terms gives $ab = 1$ and $a^2 + b = 0.$ Then $b = \frac{1}{a}$ and $a^2 + \frac{1}{a} = 0,$ so $a^3 = -1,$ giving $a = -1$ and $b = -1.$ Thus $a + b = -2.$

Thus, the correct answer is A.

2004 AMC 12B 第 13 题

答案：A

难度评级：1580

小提示：

大提示：

解答：

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