Question

实数 $x$ ， $y$ ， $h$ 和 $k$ 满足方程组

$x^2 + y^2 - 6x - 8y = h$

$x^2 + y^2 - 10x + 4y = k\text{。}$

求 $h + k$ 的最小可能值。

There are real numbers $x,$ $y,$ $h,$ and $k$ that satisfy the system of equations

$x^2 + y^2 - 6x - 8y = h$

$x^2 + y^2 - 10x + 4y = k.$

What is the minimum possible value of $h + k?$

$-54$

$-46$

$-34$

$-16$

$16$

答案：C

知识点：配方法最优化

难度评级：1640

小提示：

将两个方程相加，把 $h + k$ 写成关于 $x$ 和 $y$ 的一个表达式。

Add the two equations to get $h + k$ as a single expression in $x$ and $y$

大提示：

配方得 $h + k = 2(x-4)^2$ $+ 2(y-1)^2 - 34$ ，当两个平方项都为零时最小。

Complete the square: $h + k = 2(x-4)^2$ $+ 2(y-1)^2 - 34,$ which is smallest when both squares vanish

解答：

两式相加，得 $\begin{aligned} h + k &= 2x^2 + 2y^2 - 16x - 4y \\ &= 2(x - 4)^2 \\ &\quad {}+ 2(y - 1)^2 - 34\text{。} \end{aligned}$ 两个平方项都非负，所以最小值在 $x = 4$ 、 $y = 1$ 时取得，为 $h + k = -34$ 。

所以正确答案是 C。

Adding the equations, $\begin{aligned} h + k &= 2x^2 + 2y^2 - 16x - 4y \\ &= 2(x - 4)^2 \\ &\quad {}+ 2(y - 1)^2 - 34. \end{aligned}$ Both squared terms are nonnegative, so the minimum occurs at $x = 4,$ $y = 1,$ giving $h + k = -34.$

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12B 第 13 题

答案：C

难度评级：1640

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题