Question

一个整数的 $100$ 次方除以 $125$ 时，可能得到多少种不同余数？

How many different remainders can result when the $100$ th power of an integer is divided by $125?$

$1$

$2$

$5$

$25$

$125$

答案：B

知识点：欧拉函数模幂运算

难度评级：1760

小提示：

分为与 $5$ 互质的整数，以及被 $5$ 整除的整数。

Split into integers coprime to $5$ and integers divisible by $5$

大提示：

因为 $\varphi(125) = 100$ ，Euler 定理说明当 $\gcd(n,5)=1$ 时， $n^{100} \equiv 1 \pmod{125}$ ；而 $5$ 的倍数满足 $n^{100}$ 被 $125$ 整除。

Since $\varphi(125) = 100,$ Euler’s theorem gives $n^{100} \equiv 1 \pmod{125}$ when $\gcd(n,5)=1;$ a multiple of $5$ has $n^{100}$ divisible by $125$

解答：

若 $n$ 与 $5$ 互质，则由 $\varphi(125) = 100$ 和 Euler 定理可得 $n^{100} \equiv 1 \pmod{125}$ 。若 $n$ 是 $5$ 的倍数，则 $n^{100}$ 被 $5^{100}$ 整除，因而也被 $125$ 整除，余数为 $0$ 。

因此只可能出现余数 $0$ 和 $1$ ，共 $2$ 种。

所以正确答案是 B。

If $n$ is coprime to $5,$ then since $\varphi(125) = 100,$ Euler’s theorem gives $n^{100} \equiv 1 \pmod{125}.$ If $n$ is a multiple of $5,$ then $n^{100}$ is divisible by $5^{100},$ hence by $125,$ leaving remainder $0.$

So the only possible remainders are $0$ and $1,$ which is $2$ distinct values.

Thus, the correct answer is B.

2024 AMC 12B 第 14 题

答案：B

难度评级：1760

小提示：

大提示：

解答：

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