Question

$\sqrt{1+\left(\dfrac{x^4-1}{2x^2}\right)^2}$ 化简后等于：

When simplified $\sqrt{1+\left(\dfrac{x^4-1}{2x^2}\right)^2}$ equals:

$\dfrac{x^4+2x^2-1}{2x^2}$

$\dfrac{x^4-1}{2x^2}$

$\dfrac{\sqrt{x^2+1}}2$

$\dfrac{x^2}{\sqrt2}$

$\dfrac{x^2}{2}+\dfrac1{2x^2}$

答案：E

知识点：根式完全平方数代数变形

难度评级：1740

小提示：

将 $1$ 通分到分母 $4x^4$ 上

Put $1$ over the denominator $4x^4$

大提示：

分子变为 $4x^4+(x^4-1)^2=(x^4+1)^2$

The numerator becomes $4x^4+(x^4-1)^2=(x^4+1)^2$

解答：

当 $x\ne0$ 时， $\begin{aligned} &1+\left(\frac{x^4-1}{2x^2}\right)^2\\ &\quad=\frac{4x^4+(x^4-1)^2}{4x^4}\\ &\quad=\frac{(x^4+1)^2}{4x^4} \end{aligned}\text{。}$ 因为 $x^2\gt0$ ，所以它的平方根为 $\frac{x^4+1}{2x^2} =\frac{x^2}{2}+\frac1{2x^2}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

For $x\ne0,$ $\begin{aligned} &1+\left(\frac{x^4-1}{2x^2}\right)^2\\ &\quad=\frac{4x^4+(x^4-1)^2}{4x^4}\\ &\quad=\frac{(x^4+1)^2}{4x^4}. \end{aligned}$ Because $x^2\gt0,$ its square root is $\frac{x^4+1}{2x^2} =\frac{x^2}{2}+\frac1{2x^2}.$

Thus, the correct answer is E.

1954 AMC 12 第 14 题

答案：E

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题