Question

在某个数列中，第一项是 $1$ ，并且对于所有 $n\ge2$ ，前 $n$ 项的乘积为 $n^2$ 。该数列的第三项与第五项之和为

In a certain sequence of numbers, the first number is $1,$ and, for all $n\ge2,$ the product of the first $n$ numbers in the sequence is $n^2.$ The sum of the third and the fifth numbers in the sequence is

$\frac{25}{9}$

$\frac{31}{15}$

$\frac{61}{16}$

$\frac{576}{225}$

$34$

答案：C

知识点：代数变形分数找规律

难度评级：1590

小提示：

用前 $n$ 项的乘积除以前 $n-1$ 项的乘积

Divide the product of the first $n$ terms by the product of the first $n-1$ terms

大提示：

这样便可直接把第 $n$ 项表示成两个平方数之比

This gives the $n$ th term directly as a ratio of two squares

解答：

当 $n\ge2$ 时，第 $n$ 项为 $a_n=\frac{n^2}{(n-1)^2}\text{。}$ 所以 $a_3=\frac{9}{4}$ ，且 $a_5=\frac{25}{16}$ ，两者之和为 $\frac{36}{16}+\frac{25}{16}=\frac{61}{16}$ 。

因此，正确答案是 C。

For $n\ge2,$ the $n$ th term is $a_n=\frac{n^2}{(n-1)^2}.$ Therefore $a_3=\frac{9}{4}$ and $a_5=\frac{25}{16},$ whose sum is $\frac{36}{16}+\frac{25}{16}=\frac{61}{16}.$

Therefore, the correct answer is C.

1979 AMC 12 第 14 题

答案：C

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题