Question

如图，等边六边形 $ABCDEF$ 有三个互不相邻的锐内角，每个都是 $30^\circ$ 。该六边形围成的面积为 $6\sqrt{3}$ 。这个六边形的周长是多少？

In the figure, equilateral hexagon $ABCDEF$ has three nonadjacent acute interior angles that each measure $30^\circ.$ The enclosed area of the hexagon is $6\sqrt{3}.$ What is the perimeter of the hexagon?

$4$

$4\sqrt{3}$

$12$

$18$

$12\sqrt{3}$

答案：E

知识点：面积分割三角学

难度评级：1730

小提示：

设边长为 $s$ 。三个 $30^\circ$ 尖端是腰长为 $s$ 的等腰三角形；它们位于三个凹角顶点形成的内三角形的边上

Let the side be $s.$ The three $30^\circ$ tips are isosceles triangles with legs $s;$ they sit on the sides of the inner triangle formed by the three reflex vertices

大提示：

每个尖端面积为 $\tfrac12 s^2 \sin 30^\circ$ ，内侧等边三角形边长为 $2s\sin 15^\circ$ 。

Each tip has area $\tfrac12 s^2 \sin 30^\circ,$ and the inner equilateral triangle has side $2s\sin 15^\circ$

解答：

设公共边长为 $s$ 。三个锐角顶点是三个等腰三角形的尖端，这些三角形的两边为 $s$ ，顶角为 $30^\circ$ ；每个面积为 $\tfrac12 s^2 \sin 30^\circ = \tfrac{s^2}{4}$ 。

三个凹角顶点形成一个内侧等边三角形，边长为 $2s\sin 15^\circ$ ，面积为 $\sqrt3\,s^2\sin^2 15^\circ$ 。利用 $\sin^2 15^\circ = \tfrac{2 - \sqrt3}{4}$ ，总面积为 $\frac{3s^2}{4} + \sqrt3\,s^2\cdot\frac{2 - \sqrt3}{4} = \frac{s^2\sqrt3}{2}\text{。}$

令 $\tfrac{s^2\sqrt3}{2} = 6\sqrt3$ ，得 $s^2 = 12$ ，所以 $s = 2\sqrt3$ ，周长为 $6s = 12\sqrt3$ 。

所以正确答案是 E。

Let the common side length be $s.$ The three acute vertices are the tips of isosceles triangles with two sides $s$ and apex $30^\circ;$ each has area $\tfrac12 s^2 \sin 30^\circ = \tfrac{s^2}{4}.$

The three reflex vertices form an inner equilateral triangle with side $2s\sin 15^\circ,$ whose area is $\sqrt3\,s^2\sin^2 15^\circ.$ Using $\sin^2 15^\circ = \tfrac{2 - \sqrt3}{4},$ the total area is $\frac{3s^2}{4} + \sqrt3\,s^2\cdot\frac{2 - \sqrt3}{4} = \frac{s^2\sqrt3}{2}.$

Setting $\tfrac{s^2\sqrt3}{2} = 6\sqrt3$ gives $s^2 = 12,$ so $s = 2\sqrt3$ and the perimeter is $6s = 12\sqrt3.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Fall 第 14 题

答案：E

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

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