Question

一条线段经过抛物线的焦点 $F$ ，且垂直于 $\overline{FV}$ ，其中 $V$ 是抛物线顶点。该线段与抛物线交于 $A$ 与 $B$ 。 $\cos(\angle AVB)$ 等于多少？

A segment through the focus $F$ of a parabola with vertex $V$ is perpendicular to $\overline{FV}$ and intersects the parabola in points $A$ and $B.$ What is $\cos(\angle AVB)?$

$-\dfrac{3\sqrt{5}}{7}$

$-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

$-\dfrac{4}{5}$

$-\dfrac{3}{5}$

$-\dfrac{1}{2}$

答案：D

知识点：抛物线三角恒等式勾股定理

难度评级：1710

小提示：

令 $p=FV$ 。用焦点-准线性质求 $FB$ ，再求 $VB$ 。

Let $p=FV.$ Use the focus-directrix property to find $FB$ and then $VB$

大提示：

先求 $\cos(\angle FVB)$ ，再用二倍角公式，因为 $\angle AVB=2\angle FVB$ 。

Find $\cos(\angle FVB),$ then $\angle AVB=2\angle FVB$ via the double angle formula

解答：

令 $p=FV$ ，准线为 $\ell$ 。把 $F$ 与 $B$ 投影到 $\ell$ 上，由焦点与准线的性质可得 $FB=2p$ ，即 $B$ 到 $\ell$ 的距离。再由勾股定理， $\begin{aligned} VB&=\sqrt{FV^2+FB^2} \\ &=\sqrt{p^2+4p^2}=\sqrt5\,p \end{aligned}\text{。}$

于是 $\cos(\angle FVB)=\dfrac{FV}{VB}$ $=\dfrac{p}{\sqrt5\,p}$ $=\dfrac{1}{\sqrt5}$ 。因为 $\angle AVB=2\angle FVB$ ，所以 $\begin{aligned} \cos(\angle AVB) &=2\cos^2(\angle FVB) \\ &\quad {}-1 \\ &=2\cdot\dfrac15-1 \\ &=-\dfrac35 \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 D。

Let $p=FV$ and let the directrix be $\ell.$ Projecting $F$ and $B$ onto $\ell,$ the focus-directrix property gives $FB=2p$ (the distance from $B$ to $\ell$ ), and by the Pythagorean Theorem $\begin{aligned} VB&=\sqrt{FV^2+FB^2} \\ &=\sqrt{p^2+4p^2}=\sqrt5\,p. \end{aligned}$

Then $\cos(\angle FVB)=\dfrac{FV}{VB}$ $=\dfrac{p}{\sqrt5\,p}$ $=\dfrac{1}{\sqrt5}.$ Since $\angle AVB=2\angle FVB,$ $\begin{aligned} \cos(\angle AVB) &=2\cos^2(\angle FVB) \\ &\quad {}-1 \\ &=2\cdot\dfrac15-1 \\ &=-\dfrac35. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

2011 AMC 12B 第 14 题

答案：D

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题