Question

图中的闭合曲线由 $9$ 条全等圆弧组成，每条圆弧的长度为 $\dfrac{2\pi}{3}$ ，且对应圆的圆心都在边长为 $2$ 的正六边形的顶点上。该曲线围成的面积是多少？

The closed curve in the figure is made up of $9$ congruent circular arcs each of length $\dfrac{2\pi}{3},$ where each of the centers of the corresponding circles is among the vertices of a regular hexagon of side $2.$ What is the area enclosed by the curve?

$2\pi + 6$

$2\pi + 4\sqrt{3}$

$3\pi + 4$

$2\pi + 3\sqrt{3} + 2$

$\pi + 6\sqrt{3}$

答案：E

知识点：面积分割扇形正多边形

难度评级：1880

小提示：

每条弧都是单位圆的 $120^\circ$ 扇形，因为弧长 $\dfrac{2\pi}{3}$ 表示半径为 $1$

Each arc is a $120^\circ$ sector of a unit circle, since arc length $\dfrac{2\pi}{3}$ means radius $1$

大提示：

向外和向内的扇形可以重新排列成在边长 $2$ 的六边形上加上一个完整的单位圆

The outward and inward sectors rearrange into one full unit circle added to the hexagon of side $2$

解答：

每条弧在单位圆上的长度为 $\dfrac{2\pi}{3}$ ，所以对应一个 $120^\circ$ 扇形。九个相等扇形可重新组合，使围成区域等于边长为 $2$ 的正六边形加上一个半径为 $1$ 的完整圆。

边长为 $2$ 的正六边形可分成 $6$ 个边长为 $2$ 的等边三角形，所以面积为 $6 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4} \cdot 2^2 = 6\sqrt3$ 。

加上单位圆面积 $\pi$ ，得到 $\pi + 6\sqrt3$ 。

因此，正确答案是 E。

Each arc has length $\dfrac{2\pi}{3}$ on a unit circle, so it is a $120^\circ$ sector. The nine equal sectors can be reassembled so that the enclosed region equals the regular hexagon of side $2$ plus one full circle of radius $1.$

A regular hexagon of side $2$ splits into $6$ equilateral triangles of side $2,$ so its area is $6 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4} \cdot 2^2 = 6\sqrt3.$

Adding the unit circle’s area $\pi$ gives $\pi + 6\sqrt3.$

Thus, the correct answer is E.

2012 AMC 12A 第 14 题

答案：E

难度评级：1880

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题