Question

假设 $a$ 和 $b$ 是独立随机选取的一位正整数。点 $(a, b)$ 位于抛物线 $y = ax^2 - bx$ 上方的概率是多少？

Suppose $a$ and $b$ are single-digit positive integers chosen independently and at random. What is the probability that the point $(a, b)$ lies above the parabola $y = ax^2 - bx?$

$\dfrac{11}{81}$

$\dfrac{13}{81}$

$\dfrac{5}{27}$

$\dfrac{17}{81}$

$\dfrac{19}{81}$

答案：E

知识点：抛物线基本概率分类讨论

难度评级：1690

小提示：

点在抛物线上方当且仅当 $b \gt a \cdot a^2 - b \cdot a$ ，即 $b(a + 1) \gt a^3$

The point is above the parabola when $b \gt a \cdot a^2 - b \cdot a,$ i.e. $b(a + 1) \gt a^3$

大提示：

对每个 $a$ ，统计 $\{1, \ldots, 9\}$ 中可行的 $b$ ；只有 $a = 1, 2, 3$ 可能有解

Count valid $b$ in $\{1, \ldots, 9\}$ for each $a;$ only $a = 1, 2, 3$ allow any

解答：

代入 $x = a$ 、 $y = b$ ，点在抛物线上方当且仅当 $b \gt a^3 - ab$ ，即 $b(a + 1) \gt a^3$ 。

当 $a = 1$ ： $b \gt \tfrac12$ ，所有 $9$ 个值都可行。当 $a = 2$ ： $b \gt \tfrac83$ ，所以 $b \ge 3$ 有 $7$ 个。当 $a = 3$ ： $b \gt \tfrac{27}{4} = 6.75$ ，所以 $b \ge 7$ 有 $3$ 个。当 $a \ge 4$ 时，没有 $b \le 9$ 可行。

总数为 $9 + 7 + 3 = 19$ ，共 $81$ 种情况，所以概率为 $\dfrac{19}{81}$ 。

因此，正确答案是 E。

Substituting $x = a,$ $y = b,$ the point is above the parabola when $b \gt a^3 - ab,$ i.e. $b(a + 1) \gt a^3.$

For $a = 1:$ $b \gt \tfrac12,$ all $9$ values work. For $a = 2:$ $b \gt \tfrac83,$ so $b \ge 3,$ giving $7.$ For $a = 3:$ $b \gt \tfrac{27}{4} = 6.75,$ so $b \ge 7,$ giving $3.$ For $a \ge 4,$ no $b \le 9$ works.

The count is $9 + 7 + 3 = 19$ out of $81,$ so the probability is $\dfrac{19}{81}.$

Thus, the correct answer is E.

2011 AMC 12A 第 14 题

答案：E

难度评级：1690

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题