Question

有多少个整数对 $(m,n)$ 满足方程 $m+n=mn$ ？

How many pairs $(m,n)$ of integers satisfy the equation $m+n=mn?$

$1$

$2$

$3$

$4$

多于 $4$ 个

more than $4$

答案：B

知识点：丢番图方程因式分解

难度评级：1650

小提示：

把所有项移到等式一边，再加上 $1$

Move all terms to one side and add $1$

大提示：

将方程化为两个整数的乘积等于 $1$

Factor the equation into a product of two integers equal to $1$

解答：

移项并配成乘积，得到 $\begin{aligned} mn-m-n&=0,\\ (m-1)(n-1)&=1 \end{aligned}\text{。}$ $1$ 的整数因数对为 $(1,1)$ 和 $(-1,-1)$ ，分别得到 $(m,n)=(2,2)$ 和 $(0,0)$ 。因此共有两个有序整数对。

因此，正确答案是 B。

Rearranging and completing the product gives $\begin{aligned} mn-m-n&=0,\\ (m-1)(n-1)&=1. \end{aligned}$ The integer factor pairs of $1$ are $(1,1)$ and $(-1,-1),$ producing $(m,n)=(2,2)$ and $(0,0).$ Thus there are two ordered pairs.

Therefore, the correct answer is B.

1977 AMC 12 第 14 题

答案：B

难度评级：1650

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题