1977 AMC 12 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

若 $y=2x$ ，且 $z=2y$ ，则 $x+y+z$ 等于

If $y=2x$ and $z=2y,$ then $x+y+z$ equals

$x$

$3x$

$5x$

$7x$

$9x$

知识点：换元法代数变形

难度评级：800

小提示：

把每一项都用 $x$ 表示

Express every term in terms of $x$

大提示：

先利用 $y=2x$ 得到 $z=4x$

Use $y=2x$ first to obtain $z=4x$

解答：

因为 $y=2x$ ，所以 $z=2y=4x$ 。因此 $x+y+z=x+2x+4x=7x$ 。

因此，正确答案是 D。

Since $y=2x,$ we have $z=2y=4x.$ Therefore $x+y+z=x+2x+4x=7x.$

Therefore, the correct answer is D.

2.

下列哪一项陈述是错误的？所有等边三角形都是

Which one of the following statements is false? All equilateral triangles are

等角三角形

equiangular

等腰三角形

isosceles

正多边形

regular polygons

彼此全等的三角形

congruent to each other

彼此相似的三角形

similar to each other

知识点：等边三角形全等（几何）相似

难度评级：890

小提示：

区分由角决定的性质和由大小决定的性质

Separate properties determined by angles from properties determined by size

大提示：

比较两个边长不同的等边三角形

Compare two equilateral triangles having different side lengths

解答：

每个等边三角形都是等角三角形、等腰三角形和正多边形，并且与任意其他等边三角形相似。然而，边长不同的两个等边三角形并不全等。

因此，正确答案是 D。

Every equilateral triangle is equiangular, isosceles, regular, and similar to every other equilateral triangle. Two equilateral triangles with different side lengths are not congruent, however.

Therefore, the correct answer is D.

3.

一名男子共有价值 $\$2.73$ 的一美分、五美分、十美分、二十五美分和五十美分硬币。若每种硬币的枚数相同，则他共有多少枚硬币？

A man has $\$2.73$ in pennies, nickels, dimes, quarters and half dollars. If he has an equal number of coins of each kind, then the total number of coins he has is

$3$

$5$

$9$

$10$

$15$

知识点：钱币一次方程

难度评级：1060

小提示：

求这五种硬币各取一枚时的总价值

Find the value of one coin of each of the five types

大提示：

每组五枚硬币共值 $91$ 美分

The five coins in one complete set are worth $91$ cents

解答：

每种硬币各取一枚，共值 $1+5+10+25+50=91$ 美分。由于 $\frac{273}{91}=3$ ，五种硬币各有三枚，所以共有 $5\cdot3=15$ 枚硬币。

因此，正确答案是 E。

One coin of each kind is worth $1+5+10+25+50=91$ cents. Since $\frac{273}{91}=3,$ there are three coins of each of the five kinds, or $5\cdot3=15$ coins.

Therefore, the correct answer is E.

4.

在三角形 $ABC$ 中， $AB=AC$ ，且 $\angle A=80^\circ$ 。点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别位于边 $BC$ 、 $AC$ 、 $AB$ 上，并且 $CE=CD$ 、 $BF=BD$ 。那么 $\angle EDF$ 等于

In triangle $ABC,$ $AB=AC$ and $\angle A=80^\circ.$ If points $D,$ $E$ and $F$ lie on sides $BC,$ $AC$ and $AB,$ respectively, and $CE=CD$ and $BF=BD,$ then $\angle EDF$ equals

$30^\circ$

$40^\circ$

$50^\circ$

$65^\circ$

以上均不正确

none of these

知识点：等腰三角形导角

难度评级：1690

小提示：

先求出 $\triangle ABC$ 的两个底角

First determine the two base angles of $\triangle ABC$

大提示：

利用两组已知的等长线段求 $\angle EDC$ 和 $\angle BDF$

Use the two given equal-length pairs to find $\angle EDC$ and $\angle BDF$

解答：

$\triangle ABC$ 的两个底角都等于 $50^\circ$ 。因为 $CE=CD$ ，所以三角形 $CED$ 的顶角为 $50^\circ$ ，从而 $\angle EDC=65^\circ$ 。同理， $BF=BD$ 推出 $\angle BDF=65^\circ$ 。直线 $CB$ 上方的三个角之和为 $180^\circ$ ，所以 $\begin{aligned} \angle EDF&=180^\circ-65^\circ-65^\circ\\ &=50^\circ \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

The base angles of $\triangle ABC$ are each $50^\circ.$ Since $CE=CD,$ triangle $CED$ has vertex angle $50^\circ,$ so $\angle EDC=65^\circ.$ Similarly, $BF=BD$ gives $\angle BDF=65^\circ.$ The three angles above the straight line $CB$ sum to $180^\circ,$ so $\begin{aligned} \angle EDF&=180^\circ-65^\circ-65^\circ\\ &=50^\circ. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

5.

所有满足下列条件的点 $P$ 构成的集合是什么： $P$ 到两个定点 $A$ 和 $B$ 的（无向）距离之和等于 $A$ 与 $B$ 之间的距离？

The set of all points $P$ such that the sum of the (undirected) distances from $P$ to two fixed points $A$ and $B$ equals the distance between $A$ and $B$ is

从 $A$ 到 $B$ 的线段

the line segment from $A$ to $B$

经过 $A$ 和 $B$ 的直线

the line passing through $A$ and $B$

从 $A$ 到 $B$ 的线段的垂直平分线

the perpendicular bisector of the line segment from $A$ to $B$

面积为正的椭圆

an ellipse having positive area

一条抛物线

a parabola

知识点：三角不等式

难度评级：1140

小提示：

对 $AP$ 、 $PB$ 和 $AB$ 应用三角不等式

Apply the triangle inequality to $AP,$ $PB,$ and $AB$

大提示：

回想三角不等式在何时取等号

Recall when equality holds in the triangle inequality

解答：

由三角不等式可得 $AP+PB\ge AB$ 。等号成立当且仅当 $A$ 、 $P$ 、 $B$ 共线，且 $P$ 位于 $A$ 与 $B$ 之间（包括两个端点）。因此，所求轨迹是从 $A$ 到 $B$ 的线段。

因此，正确答案是 A。

The triangle inequality gives $AP+PB\ge AB.$ Equality holds exactly when $A,$ $P,$ $B$ are collinear with $P$ between $A$ and $B,$ including the endpoints. Thus the locus is the segment from $A$ to $B.$

Therefore, the correct answer is A.

6.

若 $x$ 、 $y$ 和 $2x+\frac y2$ 均不为零，则 $\left(2x+\frac y2\right)^{-1}\left[(2x)^{-1}+\left(\frac y2\right)^{-1}\right]$ 等于

If $x,$ $y$ and $2x+\frac y2$ are not zero, then $\left(2x+\frac y2\right)^{-1}\left[(2x)^{-1}+\left(\frac y2\right)^{-1}\right]$ equals

$1$

$xy^{-1}$

$x^{-1}y$

$(xy)^{-1}$

以上均不正确

none of these

知识点：代数变形分数

难度评级：1410

小提示：

把外面的倒数改写成一个分数

Rewrite the outside reciprocal using a single fraction

大提示：

对括号内的两个倒数通分

Combine the two reciprocals inside the brackets over a common denominator

解答：

有 $\begin{aligned} \left(2x+\frac y2\right)^{-1} &=\frac2{4x+y},\\ (2x)^{-1}+\left(\frac y2\right)^{-1} &=\frac1{2x}+\frac2y\\ &=\frac{y+4x}{2xy} \end{aligned}\text{。}$ 两者的乘积为 $\frac{1}{xy}=(xy)^{-1}$ 。

因此，正确答案是 D。

We have $\begin{aligned} \left(2x+\frac y2\right)^{-1} &=\frac2{4x+y},\\ (2x)^{-1}+\left(\frac y2\right)^{-1} &=\frac1{2x}+\frac2y\\ &=\frac{y+4x}{2xy}. \end{aligned}$ Their product is $\frac{1}{xy}=(xy)^{-1}.$

Therefore, the correct answer is D.

7.

若 $t=\dfrac1{1-\sqrt[4]{2}}$ ，则 $t$ 等于

If $t=\dfrac1{1-\sqrt[4]{2}},$ then $t$ equals

$(1-\sqrt[4]{2})(2-\sqrt2)$

$(1-\sqrt[4]{2})(1+\sqrt2)$

$(1+\sqrt[4]{2})(1-\sqrt2)$

$(1+\sqrt[4]{2})(1+\sqrt2)$

$-(1+\sqrt[4]{2})(1+\sqrt2)$

知识点：分母有理化平方差根式

难度评级：1860

小提示：

令 $u=\sqrt[4]{2}$ ，并利用 $u^4=2$

Let $u=\sqrt[4]{2}$ and use $u^4=2$

大提示：

把 $u^4-1$ 分解为两个一次因式与一个二次因式的乘积

Factor $u^4-1$ into a linear factor, a second linear factor, and a quadratic factor

解答：

令 $u=\sqrt[4]{2}$ 。由于 $\begin{aligned} &(1-u)\bigl(-(1+u)(1+u^2)\bigr)\\ &\qquad=-(1-u^2)(1+u^2)\\ &\qquad=u^4-1=1 \end{aligned}\text{，}$ 所以 $t=-(1+\sqrt[4]{2})(1+\sqrt2)\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Let $u=\sqrt[4]{2}.$ Since $\begin{aligned} &(1-u)\bigl(-(1+u)(1+u^2)\bigr)\\ &\qquad=-(1-u^2)(1+u^2)\\ &\qquad=u^4-1=1, \end{aligned}$ it follows that $t=-(1+\sqrt[4]{2})(1+\sqrt2).$

Therefore, the correct answer is E.

8.

对每个非零实数三元组 $(a,b,c)$ ，构造数 $\frac a{|a|}+\frac b{|b|}+\frac c{|c|}+\frac{abc}{|abc|}\text{。}$ 所有可能得到的数所组成的集合是

For every triple $(a,b,c)$ of nonzero real numbers, form the number $\frac a{|a|}+\frac b{|b|}+\frac c{|c|}+\frac{abc}{|abc|}.$ The set of all numbers formed is

$\{0\}$

$\{-4,0,4\}$

$\{-4,-2,0,2,4\}$

$\{-4,-2,2,4\}$

以上均不正确

none of these

知识点：绝对值分类讨论

难度评级：1440

小提示：

前三个分数中的每一个都等于 $1$ 或 $-1$

Each of the first three fractions is either $1$ or $-1$

大提示：

最后一个分数的符号是前三个符号的乘积

The sign of the final fraction is the product of the first three signs

解答：

设 $r$ 、 $s$ 、 $t\in\{-1,1\}$ 分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的符号，则该式为 $r+s+t+rst$ 。三个符号全为正时，式子的值为 $4$ ；全为负时，值为 $-4$ 。若正负号混合，直接相消可得 $0$ 。因此所求集合为 $\{-4,0,4\}$ 。

因此，正确答案是 B。

Let $r,$ $s,$ $t\in\{-1,1\}$ be the signs of $a,$ $b,$ $c.$ The expression is $r+s+t+rst.$ If all three signs are positive it is $4,$ and if all are negative it is $-4.$ If the signs are mixed, direct cancellation gives $0.$ Hence the set is $\{-4,0,4\}.$

Therefore, the correct answer is B.

9.

在所附图形中， $\angle E=40^\circ$ ，且弧 $AB$ 、弧 $BC$ 、弧 $CD$ 的长度都相等。求 $\angle ACD$ 的度数。

In the adjoining figure $\angle E=40^\circ$ and arc $AB,$ arc $BC$ and arc $CD$ all have equal length. Find the measure of $\angle ACD.$

$10^\circ$

$15^\circ$

$20^\circ$

$\left(\frac{45}2\right)^\circ$

$30^\circ$

知识点：弧圆周角圆

难度评级：1690

小提示：

用一个变量表示三条等长弧的度数，再用另一个变量表示弧 $AD$ 的度数

Assign one variable to each of the three equal arcs and another to arc $AD$

大提示：

同时利用整圆的弧度数之和以及点 $E$ 处的圆外割线角定理

Use both the full-circle arc sum and the external-secant angle theorem at $E$

解答：

设三条弧 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 的度数均为 $x^\circ$ ，弧 $AD$ 的度数为 $y^\circ$ 。于是 $\begin{aligned} 3x+y&=360,\\ \frac{x-y}{2}&=40 \end{aligned}\text{。}$ 解得 $y=30$ 。圆周角 $\angle ACD$ 所对的弧是 $AD$ ，所以其度数为 $\frac{y}{2}=15^\circ$ 。

因此，正确答案是 B。

Let each of arcs $AB,$ $BC,$ $CD$ measure $x^\circ$ and let arc $AD$ measure $y^\circ.$ Then $\begin{aligned} 3x+y&=360,\\ \frac{x-y}{2}&=40. \end{aligned}$ Solving gives $y=30.$ The inscribed angle $\angle ACD$ subtends arc $AD,$ so it measures $\frac{y}{2}=15^\circ.$

Therefore, the correct answer is B.

10.

若 $(3x-1)^7=a_7x^7+a_6x^6+\cdots+a_0$ ，则 $a_7+a_6+\cdots+a_0$ 等于

If $(3x-1)^7=a_7x^7+a_6x^6+\cdots+a_0,$ then $a_7+a_6+\cdots+a_0$ equals

$0$

$1$

$64$

$-64$

$128$

知识点：多项式换元法

难度评级：1440

小提示：

将多项式代入某个特定值即可得到其系数之和

A polynomial’s coefficient sum is obtained by evaluating it at a particular input

大提示：

在所给恒等式中代入 $x=1$

Substitute $x=1$ into the given identity

解答：

令 $x=1$ ，右边便成为所求的系数之和。因此 $\begin{aligned} a_7+a_6+\cdots+a_0 &=(3\cdot1-1)^7\\ &=2^7=128 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Setting $x=1$ makes the right side the desired coefficient sum. Thus $\begin{aligned} a_7+a_6+\cdots+a_0 &=(3\cdot1-1)^7\\ &=2^7=128. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

11.

对每个实数 $x$ ，令 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数（即满足 $n\le x\lt n+1$ 的整数 $n$ ）。下列哪些陈述正确？

$\mathrm{I}$ 。对所有 $x$ ，都有 $[x+1]=[x]+1$

$\mathrm{II}$ 。对所有 $x$ 和 $y$ ，都有 $[x+y]=[x]+[y]$

$\mathrm{III}$ 。对所有 $x$ 和 $y$ ，都有 $[xy]=[x][y]$

For each real number $x,$ let $[x]$ be the largest integer not exceeding $x$ (i.e., the integer $n$ such that $n\le x\lt n+1$ ). Which of the following statements is (are) true?

$\mathrm{I}.$ $[x+1]=[x]+1$ for all $x$

$\mathrm{II}.$ $[x+y]=[x]+[y]$ for all $x$ and $y$

$\mathrm{III}.$ $[xy]=[x][y]$ for all $x$ and $y$

都不正确

none

只有 $\mathrm{I}$

$\mathrm{I}$ only

只有 $\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{II}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{II}$ only

只有 $\mathrm{III}$

$\mathrm{III}$ only

全部正确

all

知识点：取整函数反例

难度评级：1530

小提示：

从 $n\le x\lt n+1$ 直接证明平移性质

Prove the translation statement directly from $n\le x\lt n+1$

大提示：

用 $1$ 与 $2$ 之间的非整数检验另外两项陈述

Test the other two claims using noninteger values between $1$ and $2$

解答：

若 $n\le x\lt n+1$ ，则 $n+1\le x+1\lt n+2$ ，所以 $\mathrm{I}$ 正确。取 $x=y=\frac{3}{2}$ ，可得 $[x+y]=3\ne2=[x]+[y]$ 且 $[xy]=2\ne1=[x][y]$ 。因此 $\mathrm{II}$ 和 $\mathrm{III}$ 错误。

因此，正确答案是 B。

If $n\le x\lt n+1,$ then $n+1\le x+1\lt n+2,$ so $\mathrm{I}$ is true. Taking $x=y=\frac{3}{2}$ gives $[x+y]=3\ne2=[x]+[y]$ and $[xy]=2\ne1=[x][y].$ Thus $\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ are false.

Therefore, the correct answer is B.

12.

Al 的年龄比 Bob 与 Carl 的年龄之和大 $16$ ，且 Al 年龄的平方比 Bob 与 Carl 年龄之和的平方大 $1632$ 。Al、Bob 和 Carl 三人的年龄之和是

Al’s age is $16$ more than the sum of Bob’s age and Carl’s age, and the square of Al’s age is $1632$ more than the square of the sum of Bob’s age and Carl’s age. The sum of the ages of Al, Bob and Carl is

$64$

$94$

$96$

$102$

$140$

知识点：平方差年龄问题

难度评级：1360

小提示：

令 $s$ 为 Bob 与 Carl 的年龄之和

Let $s$ be the sum of Bob’s and Carl’s ages

大提示：

分解 $a^2-s^2$ ，并利用 $a-s$ 的已知值

Factor $a^2-s^2$ and use the known value of $a-s$

解答：

设 $a$ 为 Al 的年龄， $s$ 为另外两人的年龄之和。于是 $a-s=16$ ，且 $\begin{aligned} 1632&=a^2-s^2\\ &=(a-s)(a+s)\\ &=16(a+s) \end{aligned}\text{。}$ 因此，所求的总年龄 $a+s$ 为 $\frac{1632}{16}=102$ 。

因此，正确答案是 D。

Let $a$ be Al’s age and $s$ the sum of the other two ages. Then $a-s=16$ and $\begin{aligned} 1632&=a^2-s^2\\ &=(a-s)(a+s)\\ &=16(a+s). \end{aligned}$ Hence the requested total $a+s$ is $\frac{1632}{16}=102.$

Therefore, the correct answer is D.

13.

若正数数列 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $a_3$ 、 $\ldots$ 对所有正整数 $n$ 都满足 $a_{n+2}=a_na_{n+1}$ ，则数列 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $a_3$ 、 $\ldots$ 是等比数列的条件为

If $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ is a sequence of positive numbers such that $a_{n+2}=a_na_{n+1}$ for all positive integers $n,$ then the sequence $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ is a geometric progression

任意正数 $a_1$ 和 $a_2$ 均可

for all positive values of $a_1$ and $a_2$

当且仅当 $a_1=a_2$

if and only if $a_1=a_2$

当且仅当 $a_1=1$

if and only if $a_1=1$

当且仅当 $a_2=1$

if and only if $a_2=1$

当且仅当 $a_1=a_2=1$

if and only if $a_1=a_2=1$

知识点：递推等比数列比与比例

难度评级：1860

小提示：

用 $a_1$ 、 $a_2$ 表示 $a_3$ 、 $a_4$ 和 $a_5$

Write out $a_3,$ $a_4,$ and $a_5$ in terms of $a_1,$ $a_2$

大提示：

令前三个相邻项之比相等，并利用各项为正

Equate the first three successive ratios and use positivity

解答：

接下来的各项为 $a_3=a_1a_2$ 、 $a_4=a_1a_2^2$ 和 $a_5=a_1^2a_2^3$ 。若该数列为等比数列，则 $\begin{aligned} \frac{a_2}{a_1}&=\frac{a_3}{a_2}=a_1,\\ \frac{a_4}{a_3}&=a_2=a_1 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $a_2=a_1^2$ ，且 $a_2=a_1$ 。由各项为正可知 $a_1=a_2=1$ 。反之，这两个初值会产生常数等比数列 $1,1,1,\ldots$ 。

因此，正确答案是 E。

The next terms are $a_3=a_1a_2,$ $a_4=a_1a_2^2,$ and $a_5=a_1^2a_2^3.$ If the sequence is geometric, then $\begin{aligned} \frac{a_2}{a_1}&=\frac{a_3}{a_2}=a_1,\\ \frac{a_4}{a_3}&=a_2=a_1. \end{aligned}$ Thus $a_2=a_1^2$ and $a_2=a_1.$ Positivity forces $a_1=a_2=1.$ Conversely, these initial values produce the constant geometric sequence $1,1,1,\ldots.$

Therefore, the correct answer is E.

14.

有多少个整数对 $(m,n)$ 满足方程 $m+n=mn$ ？

How many pairs $(m,n)$ of integers satisfy the equation $m+n=mn?$

$1$

$2$

$3$

$4$

多于 $4$ 个

more than $4$

知识点：丢番图方程因式分解

难度评级：1650

小提示：

把所有项移到等式一边，再加上 $1$

Move all terms to one side and add $1$

大提示：

将方程化为两个整数的乘积等于 $1$

Factor the equation into a product of two integers equal to $1$

解答：

移项并配成乘积，得到 $\begin{aligned} mn-m-n&=0,\\ (m-1)(n-1)&=1 \end{aligned}\text{。}$ $1$ 的整数因数对为 $(1,1)$ 和 $(-1,-1)$ ，分别得到 $(m,n)=(2,2)$ 和 $(0,0)$ 。因此共有两个有序整数对。

因此，正确答案是 B。

Rearranging and completing the product gives $\begin{aligned} mn-m-n&=0,\\ (m-1)(n-1)&=1. \end{aligned}$ The integer factor pairs of $1$ are $(1,1)$ and $(-1,-1),$ producing $(m,n)=(2,2)$ and $(0,0).$ Thus there are two ordered pairs.

Therefore, the correct answer is B.

15.

在所附图形中，三个圆两两外切，且三角形的每一边都与其中两个圆相切。若每个圆的半径为三，则三角形的周长为

Each of the three circles in the adjoining figure is externally tangent to the other two, and each side of the triangle is tangent to two of the circles. If each circle has radius three, then the perimeter of the triangle is

$36+9\sqrt2$

$36+6\sqrt3$

$36+9\sqrt3$

$18+18\sqrt3$

$45$

知识点：相切圆等边三角形内切圆、内心与内切圆半径

难度评级：2080

小提示：

三个圆心构成边长为 $6$ 的等边三角形

The three circle centers form an equilateral triangle of side $6$

大提示：

把外侧各边看作平行外移的直线，并比较两个等边三角形的内切圆半径

View the outer sides as parallel offsets and compare the inradii of two equilateral triangles

解答：

三个圆心构成边长为 $6$ 的等边三角形，其内切圆半径为 $\frac{6\sqrt3}{6}=\sqrt3$ 。外部三角形的每一边都是向外平移三单位后的平行切线，所以外部三角形的内切圆半径为 $3+\sqrt3$ 。内切圆半径为 $r$ 的等边三角形边长为 $2\sqrt3r$ ，因此外部三角形的每条边长为 $2\sqrt3(3+\sqrt3)=6+6\sqrt3\text{。}$ 周长为 $3(6+6\sqrt3)=18+18\sqrt3$ 。

因此，正确答案是 D。

The circle centers form an equilateral triangle of side $6,$ whose inradius is $\frac{6\sqrt3}{6}=\sqrt3.$ Each side of the outer triangle is a parallel tangent line three units farther out, so the outer triangle has inradius $3+\sqrt3.$ An equilateral triangle of inradius $r$ has side $2\sqrt3r,$ hence each outer side is $2\sqrt3(3+\sqrt3)=6+6\sqrt3.$ The perimeter is $3(6+6\sqrt3)=18+18\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is D.

16.

若 $i^2=-1$ ，则和 $\begin{aligned} &\cos45^\circ+i\cos135^\circ+\cdots\\ &\quad+i^n\cos(45+90n)^\circ+\cdots\\ &\quad+i^{40}\cos3645^\circ \end{aligned}$ 等于

If $i^2=-1,$ then the sum $\begin{aligned} &\cos45^\circ+i\cos135^\circ+\cdots\\ &\quad+i^n\cos(45+90n)^\circ+\cdots\\ &\quad+i^{40}\cos3645^\circ \end{aligned}$ equals

$\frac{\sqrt2}{2}$

$-10i\sqrt2$

$\frac{21\sqrt2}{2}$

$\frac{\sqrt2}{2}(21-20i)$

$\frac{\sqrt2}{2}(21+20i)$

知识点：复数三角恒等式求和

难度评级：2110

小提示：

比较下标为 $n+2$ 的项与下标为 $n$ 的项

Compare the term indexed by $n+2$ with the term indexed by $n$

大提示：

分别数出从 $0$ 到 $40$ 的偶数下标和奇数下标

Count the even and odd indices from $0$ through $40$

解答：

令 $u_n=i^n\cos(45+90n)^\circ$ 。则 $\begin{aligned} u_{n+2} &=i^{n+2}\cos(225+90n)^\circ\\ &=(-i^n)(-\cos(45+90n)^\circ)\\ &=u_n \end{aligned}\text{。}$ 每个偶数下标的项都等于 $\frac{\sqrt2}{2}$ ，每个奇数下标的项都等于 $-\frac{i\sqrt2}{2}$ 。共有 $21$ 个偶数下标和 $20$ 个奇数下标，所以总和为 $\frac{\sqrt2}{2}(21-20i)$ 。

因此，正确答案是 D。

Let $u_n=i^n\cos(45+90n)^\circ.$ Then $\begin{aligned} u_{n+2} &=i^{n+2}\cos(225+90n)^\circ\\ &=(-i^n)(-\cos(45+90n)^\circ)\\ &=u_n. \end{aligned}$ Every even-indexed term equals $\frac{\sqrt2}{2},$ and every odd-indexed term equals $-\frac{i\sqrt2}{2}.$ There are $21$ even indices and $20$ odd indices, so the sum is $\frac{\sqrt2}{2}(21-20i).$

Therefore, the correct answer is D.

17.

随机掷三枚公平的骰子（即每个面朝上的概率相同）。所得的三个数能够重新排列成公差为一的等差数列的概率是多少？

Three fair dice are tossed at random (i.e., all faces have the same probability of coming up). What is the probability that the three numbers turned up can be arranged to form an arithmetic progression with common difference one?

$\frac16$

$\frac19$

$\frac1{27}$

$\frac1{54}$

$\frac7{36}$

知识点：基本概率骰子（概率）排列

难度评级：1590

小提示：

列出由三个连续点数组成的所有可能集合

List the possible three-element sets of consecutive die values

大提示：

在 $6^3$ 个有序结果中，每个符合条件的集合都有六种排列

Each qualifying set has six orderings among the $6^3$ ordered outcomes

解答：

可能的集合为 $\{1,2,3\}$ 、 $\{2,3,4\}$ 、 $\{3,4,5\}$ 和 $\{4,5,6\}$ 。每个集合都有 $3!=6$ 种排列，因此在 $6^3=216$ 个结果中，有 $24$ 个符合条件。所求概率为 $\frac{24}{216}=\frac{1}{9}$ 。

因此，正确答案是 B。

The possible sets are $\{1,2,3\},$ $\{2,3,4\},$ $\{3,4,5\},$ and $\{4,5,6\}.$ Each has $3!=6$ orderings, so $24$ of the $6^3=216$ outcomes work. The probability is $\frac{24}{216}=\frac{1}{9}.$

Therefore, the correct answer is B.

18.

若 $\begin{aligned} y={}&(\log_2 3)(\log_3 4)\cdots\\ &(\log_n[n+1])\cdots(\log_{31}32) \end{aligned}\text{，}$ 则

If $\begin{aligned} y={}&(\log_2 3)(\log_3 4)\cdots\\ &(\log_n[n+1])\cdots(\log_{31}32), \end{aligned}$ then

$4\lt y\lt5$

$y=5$

$5\lt y\lt6$

$y=6$

$6\lt y\lt7$

知识点：对数裂项相消

难度评级：1860

小提示：

将每个对数都换成同一底数

Rewrite every logarithm using the same base

大提示：

乘积中相邻的分子与分母会约去

Adjacent numerators and denominators cancel in the product

解答：

由换底公式， $\begin{aligned} y&=\frac{\log 3}{\log2}\cdot \frac{\log4}{\log3}\cdots \frac{\log32}{\log31}\\ &=\frac{\log32}{\log2}\\ &=\log_2 32=5 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

By change of base, $\begin{aligned} y&=\frac{\log 3}{\log2}\cdot \frac{\log4}{\log3}\cdots \frac{\log32}{\log31}\\ &=\frac{\log32}{\log2}\\ &=\log_2 32=5. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

19.

设 $E$ 为凸四边形 $ABCD$ 的两条对角线的交点， $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 、 $S$ 分别为三角形 $ABE$ 、 $BCE$ 、 $CDE$ 、 $ADE$ 的外接圆圆心。则

Let $E$ be the point of intersection of the diagonals of convex quadrilateral $ABCD,$ and let $P,$ $Q,$ $R$ and $S$ be the centers of the circles circumscribing triangles $ABE,$ $BCE,$ $CDE$ and $ADE,$ respectively. Then

$PQRS$ 是平行四边形

$PQRS$ is a parallelogram

$PQRS$ 是平行四边形，当且仅当 $ABCD$ 是菱形

$PQRS$ is a parallelogram if and only if $ABCD$ is a rhombus

$PQRS$ 是平行四边形，当且仅当 $ABCD$ 是矩形

$PQRS$ is a parallelogram if and only if $ABCD$ is a rectangle

$PQRS$ 是平行四边形，当且仅当 $ABCD$ 是平行四边形

$PQRS$ is a parallelogram if and only if $ABCD$ is a parallelogram

以上说法均不正确

none of the above are true

知识点：外接圆、外心与外接圆半径垂直平分线平行四边形

难度评级：2220

小提示：

两个相邻的外心都位于其对应三角形公共边的垂直平分线上

Two adjacent circumcenters lie on the perpendicular bisector of the side shared by their triangles

大提示：

利用 $A$ 、 $E$ 、 $C$ 共线且 $B$ 、 $E$ 、 $D$ 共线这一事实

Use the fact that $A,$ $E,$ $C$ are collinear and $B,$ $E,$ $D$ are collinear

解答：

$P$ 和 $Q$ 都在线段 $BE$ 的垂直平分线上，而 $R$ 和 $S$ 都在线段 $DE$ 的垂直平分线上。由于 $B$ 、 $E$ 、 $D$ 共线，这两条垂直平分线平行，所以 $PQ\parallel RS$ 。同理， $Q$ 、 $R$ 在线段 $CE$ 的垂直平分线上， $S$ 、 $P$ 在线段 $AE$ 的垂直平分线上。由于 $A$ 、 $E$ 、 $C$ 共线，所以 $QR\parallel SP$ 。因此 $PQRS$ 始终是平行四边形。

因此，正确答案是 A。

Both $P$ and $Q$ lie on the perpendicular bisector of $BE,$ while both $R$ and $S$ lie on the perpendicular bisector of $DE.$ Since $B,$ $E,$ $D$ are collinear, these bisectors are parallel, so $PQ\parallel RS.$ Likewise, $Q,$ $R$ lie on the perpendicular bisector of $CE,$ and $S,$ $P$ lie on that of $AE.$ Since $A,$ $E,$ $C$ are collinear, $QR\parallel SP.$ Therefore $PQRS$ is always a parallelogram.

Therefore, the correct answer is A.

20.

一条路径由若干水平和（或）竖直线段组成，每条线段连接下图中一对相邻字母。沿路径从起点走到终点时恰好拼出单词 CONTEST 的路径共有多少条？

For how many paths consisting of a sequence of horizontal and/or vertical line segments, with each segment connecting a pair of adjacent letters in the diagram below, is the word CONTEST spelled out as the path is traversed from beginning to end?

$63$

$128$

$129$

$255$

以上均不正确

none of these

知识点：格路对称性基本计数

难度评级：2200

小提示：

将每条路径反向，从底行中央的 $T$ 出发

Reverse each path, starting from the central $T$ in the bottom row

大提示：

分别计算向左和向右的两类路径，再扣除它们共有的路径

Count the left-going and right-going families separately, then correct for their common path

解答：

把路径反向，从底部中央的 $T$ 出发拼出 TSETNOC。对于水平移动均向左的一类路径，六步中的每一步都有向上或向左两种选择，因此共有 $2^6=64$ 条路径。由对称性，水平移动向右的路径也有 $64$ 条。完全竖直的中央路径同时属于两类，所以总数为 $64+64-1=127\text{。}$ 这个数不在前四个选项中。

因此，正确答案是 E。

Reverse the paths and spell TSETNOC from the central bottom $T.$ In the family whose horizontal moves go left, each of the six steps has two choices: up or left. This gives $2^6=64$ paths. By symmetry, $64$ paths have horizontal moves going right. The all-vertical central path belongs to both families, so the total is $64+64-1=127.$ This number is not among the first four choices.

Therefore, the correct answer is E.

21.

对多少个系数 $a$ 的取值，方程 $\begin{aligned} x^2+ax+1&=0,\\ x^2-x-a&=0 \end{aligned}$ 有公共实数解？

For how many values of the coefficient $a$ do the equations $\begin{aligned} x^2+ax+1&=0,\\ x^2-x-a&=0 \end{aligned}$ have a common real solution?

$0$

$1$

$2$

$3$

无穷多个

infinitely many

知识点：二次方程方程组因式分解

难度评级：2040

小提示：

将两个方程相减，得到一个可因式分解的条件

Subtract the two equations to obtain a factored condition

大提示：

分别检验 $a=-1$ 和 $x=-1$ 两种情形

Check separately the cases $a=-1$ and $x=-1$

解答：

用第一个方程减去第二个方程，得到 $\begin{gathered} (a+1)x+(a+1)\\ =(a+1)(x+1)=0 \end{gathered}\text{。}$ 若 $a=-1$ ，两个方程均化为 $x^2-x+1=0$ ，它没有实根。否则 $x=-1$ ，代入 $x^2-x-a=0$ 得 $a=2$ 。这个值确实满足条件，所以恰有一个 $a$ 的取值符合要求。

因此，正确答案是 B。

Subtracting the second equation from the first gives $\begin{gathered} (a+1)x+(a+1)\\ =(a+1)(x+1)=0. \end{gathered}$ If $a=-1,$ the common equation is $x^2-x+1=0,$ which has no real roots. Otherwise $x=-1,$ and substitution into $x^2-x-a=0$ gives $a=2.$ This value works, so exactly one value of $a$ qualifies.

Therefore, the correct answer is B.

22.

设 $f(x)$ 是实变量 $x$ 的实值函数，且 $f(x)$ 不恒为零。若对所有 $a$ 和 $b$ ，都有 $\begin{gathered} f(a+b)+f(a-b)\\ =2f(a)+2f(b) \end{gathered}\text{，}$ 则对所有 $x$ 和 $y$

If $f(x)$ is a real-valued function of the real variable $x,$ and $f(x)$ is not identically zero, and for all $a$ and $b$ $\begin{gathered} f(a+b)+f(a-b)\\ =2f(a)+2f(b), \end{gathered}$ then for all $x$ and $y$

$f(0)=1$

$f(-x)=-f(x)$

$f(-x)=f(x)$

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

存在正数 $T$ ，使得 $f(x+T)=f(x)$

there is a positive number $T$ such that $f(x+T)=f(x)$

知识点：函数方程函数换元法

难度评级：1710

小提示：

先代入 $a=b=0$

First substitute $a=b=0$

大提示：

再令 $a=0$ 且 $b=x$

Next set $a=0$ and $b=x$

解答：

令 $a=b=0$ ，得到 $2f(0)=4f(0)$ ，所以 $f(0)=0$ 。现在令 $a=0$ 且 $b=x$ ，方程变为 $\begin{aligned} f(x)+f(-x) &=2f(0)+2f(x)\\ &=2f(x) \end{aligned}\text{，}$ 因此对每个实数 $x$ ，都有 $f(-x)=f(x)$ 。

因此，正确答案是 C。

Setting $a=b=0$ gives $2f(0)=4f(0),$ so $f(0)=0.$ Now set $a=0$ and $b=x.$ The equation becomes $\begin{aligned} f(x)+f(-x) &=2f(0)+2f(x)\\ &=2f(x), \end{aligned}$ and hence $f(-x)=f(x)$ for every real $x.$

Therefore, the correct answer is C.

23.

若方程 $x^2+px+q=0$ 的两个解分别是方程 $x^2+mx+n=0$ 的两个解的立方，则

If the solutions of the equation $x^2+px+q=0$ are the cubes of the solutions of the equation $x^2+mx+n=0,$ then

$p=m^3+3mn$

$p=m^3-3mn$

$p+q=m^3$

$\left(\frac mn\right)^3=\frac pq$

以上均不正确

none of these

知识点：韦达定理立方和与立方差二次方程

难度评级：2040

小提示：

设第二个方程的两个根为 $u$ 和 $v$ ，并应用韦达定理

Call the roots of the second equation $u$ and $v$ and apply Vieta’s formulas

大提示：

利用 $u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)$

Use $u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)$

解答：

设 $x^2+mx+n$ 的两个根为 $u$ 、 $v$ 。于是 $u+v=-m$ ，且 $uv=n$ ，而第一个方程的两个根为 $u^3$ 、 $v^3$ 。因此 $\begin{aligned} -p&=u^3+v^3\\ &=(u+v)^3-3uv(u+v)\\ &=-m^3+3mn \end{aligned}\text{。}$ 所以 $p=m^3-3mn$ 。

因此，正确答案是 B。

Let the roots of $x^2+mx+n$ be $u,$ $v.$ Then $u+v=-m$ and $uv=n,$ while the roots of the first equation are $u^3,$ $v^3.$ Thus $\begin{aligned} -p&=u^3+v^3\\ &=(u+v)^3-3uv(u+v)\\ &=-m^3+3mn. \end{aligned}$ Therefore $p=m^3-3mn.$

Therefore, the correct answer is B.

24.

求和 $\begin{aligned} &\frac1{1\cdot3}+\frac1{3\cdot5}+\cdots\\ &\quad+\frac1{(2n-1)(2n+1)}+\cdots\\ &\quad+\frac1{255\cdot257} \end{aligned}\text{。}$

Find the sum $\begin{aligned} &\frac1{1\cdot3}+\frac1{3\cdot5}+\cdots\\ &\quad+\frac1{(2n-1)(2n+1)}+\cdots\\ &\quad+\frac1{255\cdot257}. \end{aligned}$

$\frac{127}{255}$

$\frac{128}{255}$

$\frac12$

$\frac{128}{257}$

$\frac{129}{257}$

知识点：裂项相消部分分式求和

难度评级：1690

小提示：

将 $\frac1{(2n-1)(2n+1)}$ 分解为两个单位分数之差

Decompose $\frac1{(2n-1)(2n+1)}$ into two unit fractions

大提示：

最后一项的分母对应 $n=128$

The last denominator corresponds to $n=128$

解答：

对 $1\le n\le128$ ，有 $\begin{gathered} \frac1{(2n-1)(2n+1)}\\ =\frac1{2(2n-1)}-\frac1{2(2n+1)} \end{gathered}\text{。}$ 因此，逐项相消后，原和为 $\frac12\left(1-\frac1{257}\right)=\frac{128}{257}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

For $1\le n\le128,$ $\begin{gathered} \frac1{(2n-1)(2n+1)}\\ =\frac1{2(2n-1)}-\frac1{2(2n+1)}. \end{gathered}$ Hence the sum telescopes to $\frac12\left(1-\frac1{257}\right)=\frac{128}{257}.$

Therefore, the correct answer is D.

25.

求使 $1005!$ 能被 $10^n$ 整除的最大正整数 $n$ 。

Determine the largest positive integer $n$ such that $1005!$ is divisible by $10^n.$

$102$

$112$

$249$

$502$

以上均不正确

none of these

知识点：阶乘末尾零勒让德公式

难度评级：1560

小提示：

计算 $1005!$ 中因数 $5$ 的个数

Count the factors of $5$ in $1005!$

大提示：

不要遗漏 $25$ 、 $125$ 和 $625$ 的倍数所贡献的因数

Include contributions from multiples of $25,$ $125,$ and $625$

解答：

因数 $2$ 比因数 $5$ 多，所以 $10$ 的指数为 $\begin{aligned} n={}&\left\lfloor\frac{1005}{5}\right\rfloor+ \left\lfloor\frac{1005}{25}\right\rfloor\\ &+\left\lfloor\frac{1005}{125}\right\rfloor+ \left\lfloor\frac{1005}{625}\right\rfloor\\ ={}&201+40+8+1=250 \end{aligned}\text{。}$ 由于选项中没有 $250$ ，正确选项是“以上均不正确”。

因此，正确答案是 E。

There are more factors of $2$ than of $5,$ so the exponent of $10$ is $\begin{aligned} n={}&\left\lfloor\frac{1005}{5}\right\rfloor+ \left\lfloor\frac{1005}{25}\right\rfloor\\ &+\left\lfloor\frac{1005}{125}\right\rfloor+ \left\lfloor\frac{1005}{625}\right\rfloor\\ ={}&201+40+8+1=250. \end{aligned}$ Since $250$ is not listed, the correct choice is “none of these.”

Therefore, the correct answer is E.

26.

设四边形 $MNPQ$ 的边 $MN$ 、 $NP$ 、 $PQ$ 、 $QM$ 的长度分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 。若 $MNPQ$ 的面积为 $A$ ，则

Let $a,$ $b,$ $c$ and $d$ be the lengths of sides $MN,$ $NP,$ $PQ$ and $QM,$ respectively, of quadrilateral $MNPQ.$ If $A$ is the area of $MNPQ,$ then

$A=\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ 当且仅当 $MNPQ$ 是凸四边形

$A=\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ if and only if $MNPQ$ is convex

$A=\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ 当且仅当 $MNPQ$ 是矩形

$A=\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ if and only if $MNPQ$ is a rectangle

$A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ 当且仅当 $MNPQ$ 是矩形

$A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ if and only if $MNPQ$ is a rectangle

$A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ 当且仅当 $MNPQ$ 是平行四边形

$A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ if and only if $MNPQ$ is a parallelogram

$A\ge\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ 当且仅当 $MNPQ$ 是平行四边形

$A\ge\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ if and only if $MNPQ$ is a parallelogram

知识点：面积不等式矩形

难度评级：2320

小提示：

分别沿两条对角线分割四边形，并用 $1$ 作为每个正弦值的上界

Split the quadrilateral along each diagonal and bound every sine by $1$

大提示：

合并所得的两个面积上界，并分析所有不等式同时取等号的条件

Combine the two resulting area bounds and analyze when every bound is an equality

解答：

沿对角线 $MP$ 分割并利用 $\sin\theta\le1$ ，可得 $A\le\frac{ab+cd}{2}$ 。同样，沿 $NQ$ 分割可得 $A\le\frac{ad+bc}{2}$ 。对于非凸四边形，取两个三角形面积的适当差，这些上界仍然成立。将两式相加，得到 $\begin{aligned} 2A&\le\frac{ab+ad+bc+cd}{2}\\ &=\frac{(a+c)(b+d)}2 \end{aligned}\text{，}$ 即 $A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ 。等号成立要求四个正弦上界全部取等号，因此四个角都是直角；反之，矩形可以取到等号。所以等号成立当且仅当四边形为矩形。

因此，正确答案是 B。

Splitting along diagonal $MP$ and using $\sin\theta\le1$ gives $A\le\frac{ab+cd}{2}.$ Splitting along $NQ$ similarly gives $A\le\frac{ad+bc}{2}.$ These bounds remain valid for a nonconvex quadrilateral by taking the appropriate difference of triangle areas. Adding them yields $\begin{aligned} 2A&\le\frac{ab+ad+bc+cd}{2}\\ &=\frac{(a+c)(b+d)}2, \end{aligned}$ or $A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right).$ Equality requires equality in all four sine bounds, so all four angles are right angles; conversely a rectangle gives equality. Thus the equality holds exactly for rectangles.

Therefore, the correct answer is B.

27.

两个大小不同的球分别放在一间长方体房间的两个角落，每个球都与两面墙和地板相切。若每个球面上都有一点，它到该球所接触的两面墙的距离均为 $5$ 英寸，到地板的距离为 $10$ 英寸，则两球直径之和为

There are two spherical balls of different sizes lying in two corners of a rectangular room, each touching two walls and the floor. If there is a point on each ball which is $5$ inches from each wall which that ball touches and $10$ inches from the floor, then the sum of the diameters of the balls is

$20$ 英寸

$20$ inches

$30$ 英寸

$30$ inches

$40$ 英寸

$40$ inches

$60$ 英寸

$60$ inches

无法由所给信息确定

not determined by the given information

知识点：球坐标几何二次方程

难度评级：2040

小提示：

将房间角点设为原点，把两面墙和地板视为三个坐标平面

Place the corner at the origin with the walls and floor as coordinate planes

大提示：

与三个坐标平面相切的半径为 $r$ 的球，其球心为 $(r,r,r)$

A sphere of radius $r$ tangent to all three planes has center $(r,r,r)$

解答：

对于半径 $r$ ，球心为 $(r,r,r)$ ，所给点为 $(5,5,10)$ 。因此 $2(5-r)^2+(10-r)^2=r^2\text{，}$ 化简得 $r^2-20r+75=0$ ，即 $(r-5)(r-15)=0$ 。两个半径分别为 $5$ 和 $15$ ，所以直径之和为 $2(5+15)=40$ 英寸。

因此，正确答案是 C。

For radius $r,$ the center is $(r,r,r)$ and the given point is $(5,5,10).$ Thus $2(5-r)^2+(10-r)^2=r^2,$ which simplifies to $r^2-20r+75=0,$ or $(r-5)(r-15)=0.$ The two radii are $5$ and $15,$ so the sum of the diameters is $2(5+15)=40$ inches.

Therefore, the correct answer is C.

28.

令 $g(x)=x^5+x^4+x^3$ ${}+x^2+x+1$ 。多项式 $g(x^{12})$ 除以多项式 $g(x)$ 的余数是什么？

Let $g(x)=x^5+x^4+x^3$ ${}+x^2+x+1.$ What is the remainder when the polynomial $g(x^{12})$ is divided by the polynomial $g(x)?$

$6$

$5-x$

$4-x+x^2$

$3-x+x^2-x^3$

$2-x+x^2-x^3+x^4$

知识点：多项式单位根

难度评级：2300

小提示：

利用 $(x-1)g(x)=x^6-1$

Use $(x-1)g(x)=x^6-1$

大提示：

在 $g$ 的五个根处计算余式的值，并利用余式的次数上界

Evaluate the remainder at the five roots of $g$ and use its degree bound

解答：

设 $R(x)$ 为余式，则 $\deg R\le4$ 。 $g$ 的五个根 $\alpha$ 满足 $\alpha^6=1$ 且 $\alpha\ne1$ 。因此 $\alpha^{12}=1$ ，并且 $R(\alpha)=g(\alpha^{12})=g(1)=6\text{。}$ 所以次数至多为 $4$ 的多项式 $R(x)-6$ 有五个不同的根。它只能恒为零，因此 $R(x)=6$ 。

因此，正确答案是 A。

Let $R(x)$ be the remainder, so $\deg R\le4.$ The five roots $\alpha$ of $g$ satisfy $\alpha^6=1$ and $\alpha\ne1.$ Hence $\alpha^{12}=1$ and $R(\alpha)=g(\alpha^{12})=g(1)=6.$ Therefore $R(x)-6,$ a polynomial of degree at most $4,$ has five distinct roots. It must be identically zero, so $R(x)=6.$

Therefore, the correct answer is A.

29.

求最小整数 $n$ ，使得 $\begin{aligned} (x^2+y^2+z^2)^2 &\le{}\\[-4pt] &n(x^4+y^4+z^4) \end{aligned}$ 对所有实数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 都成立。

Find the smallest integer $n$ such that $\begin{aligned} (x^2+y^2+z^2)^2 &\le{}\\[-4pt] &n(x^4+y^4+z^4) \end{aligned}$ for all real numbers $x,$ $y$ and $z.$

$2$

$3$

$4$

$6$

不存在这样的整数 $n$

There is no such integer $n.$

知识点：柯西-施瓦茨不等式不等式

难度评级：1870

小提示：

对三个数 $x^2$ 、 $y^2$ 、 $z^2$ 应用柯西－施瓦茨不等式

Apply Cauchy-Schwarz to the three numbers $x^2,$ $y^2,$ $z^2$

大提示：

令 $x^2$ 、 $y^2$ 、 $z^2$ 取相等的非零值，以检验界是否可取到

Use equal nonzero values of $x^2,$ $y^2,$ $z^2$ to test sharpness

解答：

由柯西－施瓦茨不等式， $\begin{aligned} (x^2+y^2+z^2)^2&\le3Q,\\ Q&=x^4+y^4+z^4 \end{aligned}\text{。}$ 当 $x^2=y^2=z^2\ne0$ 时取等号，所以更小的值都不成立。因此最小整数为 $3$ 。

因此，正确答案是 B。

By Cauchy-Schwarz, $\begin{aligned} (x^2+y^2+z^2)^2&\le3Q,\\ Q&=x^4+y^4+z^4. \end{aligned}$ Equality occurs when $x^2=y^2=z^2\ne0,$ so no smaller value can work. Thus the smallest integer is $3.$

Therefore, the correct answer is B.

30.

正九边形的一条边、最短对角线和最长对角线的长度分别为 $a$ 、 $b$ 、 $d$ （见附图），则

If $a,$ $b$ and $d$ are the lengths of a side, a shortest diagonal and a longest diagonal, respectively, of a regular nonagon (see adjoining figure), then

$d=a+b$

$d^2=a^2+b^2$

$d^2=a^2+ab+b^2$

$b=\frac{a+d}{2}$

$b^2=ad$

知识点：正多边形弦三角恒等式

难度评级：2300

小提示：

用正九边形的外接圆半径表示这三条弦的长度

Write the three chord lengths using the nonagon’s circumradius

大提示：

利用和差化积公式比较 $\sin20^\circ+\sin40^\circ$ 与 $\sin80^\circ$

Compare $\sin20^\circ+\sin40^\circ$ with $\sin80^\circ$ using the sum-to-product identity

解答：

若外接圆半径为 $r$ ，则三条弦所对的圆心角分别为 $40^\circ$ 、 $80^\circ$ 、 $160^\circ$ 。因此 $\begin{aligned} a&=2r\sin20^\circ,\\ b&=2r\sin40^\circ,\\ d&=2r\sin80^\circ \end{aligned}\text{。}$ 由和差化积公式， $\begin{gathered} \sin20^\circ+\sin40^\circ\\ =2\sin30^\circ\cos10^\circ\\ =\cos10^\circ=\sin80^\circ \end{gathered}\text{。}$ 两边乘以 $2r$ ，得到 $a+b=d$ 。

因此，正确答案是 A。

If the circumradius is $r,$ the three chords subtend central angles $40^\circ,$ $80^\circ,$ $160^\circ,$ respectively. Thus $\begin{aligned} a&=2r\sin20^\circ,\\ b&=2r\sin40^\circ,\\ d&=2r\sin80^\circ. \end{aligned}$ The sum-to-product identity gives $\begin{gathered} \sin20^\circ+\sin40^\circ\\ =2\sin30^\circ\cos10^\circ\\ =\cos10^\circ=\sin80^\circ. \end{gathered}$ Multiplying by $2r$ yields $a+b=d.$

Therefore, the correct answer is A.