1989 AMC 12 第 14 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1989 AMC 12 第 14 题

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14.

$\cot10+\tan5=$

$\csc5$

$\csc10$

$\sec5$

$\sec10$

$\sin15$

答案：B

知识点：三角学代数变形

难度评级：1720

小提示：

将两项都改写成正弦和余弦

Rewrite both terms using sine and cosine

大提示：

使用 $\sin10=2\sin5\cos5$ 和 $\cos10=\cos^25-\sin^25$

Use $\sin10=2\sin5\cos5$ and $\cos10=\cos^25-\sin^25$

解答：

利用 $\sin10=2\sin5\cos5$ ， $\begin{aligned} \cot10+\tan5 &=\frac{\cos10}{\sin10}\\ &\quad+\frac{\sin5}{\cos5} \end{aligned}\text{。}$ 通分后的分子为 $\cos10+2\sin^25$ 。由于 $\cos10=\cos^25-\sin^25$ ，该分子为 $1$ ，原式为 $\csc10$ 。

所以正确答案是 B。

Using $\sin10=2\sin5\cos5,$ $\begin{aligned} \cot10+\tan5 &=\frac{\cos10}{\sin10}\\ &\quad+\frac{\sin5}{\cos5}. \end{aligned}$ Combining the fractions gives numerator $\cos10+2\sin^25.$ Since $\cos10=\cos^25-\sin^25,$ this numerator is $1,$ and the expression is $\csc10.$

Thus the correct answer is B.

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