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1992 AMC 12 第 14 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

14.

下列哪些方程的图像相同？I. y=x−2II. y=x2−4x+2III. (x+2)y=x2−4 \begin{aligned} &\text{I. }y=x-2\\ &\text{II. }y=\dfrac{x^2-4}{x+2}\\ &\text{III. }(x+2)y=x^2-4 \end{aligned}

Which of the following equations have the same graph? I. y=x−2II. y=x2−4x+2III. (x+2)y=x2−4 \begin{aligned} &\text{I. }y=x-2\\ &\text{II. }y=\dfrac{x^2-4}{x+2}\\ &\text{III. }(x+2)y=x^2-4 \end{aligned}

仅 I\mathrm{I} 和 II\mathrm{II}

I\mathrm{I} and II\mathrm{II} only

仅 I\mathrm{I} 和 III\mathrm{III}

I\mathrm{I} and III\mathrm{III} only

仅 II\mathrm{II} 和 III\mathrm{III}

II\mathrm{II} and III\mathrm{III} only

I\mathrm{I}、II\mathrm{II} 和 III\mathrm{III}

I,\mathrm{I}, II\mathrm{II} and III\mathrm{III}

都不是，所有方程的图像都不同

None. All the equations have different graphs

答案：E
知识点：graphdomain restrictionextraneous component
难度评级：1960
小提示：

特别注意 x=−2x=-2 时会发生什么

Pay special attention to what happens when x=−2x=-2

大提示：

方程 II 少了一个点，而方程 III 多出了一整条竖直直线

Equation II omits one point, while equation III includes an entire extra vertical line

解答：

方程 I 表示整条直线 y=x−2y=x-2。方程 II 只有在 x≠−2x\ne-2 时才能化简为该直线，因此少了点 (−2,−4)(-2,-4)。在方程 III 中，每个满足 x=−2x=-2 的点都使等式 0=00=0 成立；对其他 xx，方程给出 y=x−2y=x-2。所以 III 表示该直线与整条竖直直线 x=−2x=-2 的并集。三个图像各不相同。

因此正确答案是 E。

Equation I is the whole line y=x−2.y=x-2. Equation II simplifies to that line only when x≠−2,x\ne-2, so it omits (−2,−4).(-2,-4). In equation III, every point with x=−2x=-2 satisfies 0=0;0=0; for other xx it gives y=x−2.y=x-2. Thus III is the line together with the entire vertical line x=−2.x=-2. The three graphs are different.

Thus the correct answer is E.

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