Question

锐角等腰三角形 $ABC$ 内接于一个圆。过 $B$ 和 $C$ 分别作圆的切线，两条切线交于点 $D$ 。若 $\angle ABC=\angle ACB=2\angle D$ ，且 $x$ 是 $\angle A$ 的弧度数，则 $x=$

An acute isosceles triangle, $ABC,$ is inscribed in a circle. Through $B$ and $C,$ tangents to the circle are drawn, meeting at point $D.$ If $\angle ABC=\angle ACB=2\angle D$ and $x$ is the radian measure of $\angle A,$ then $x=$

$\frac37\pi$

$\frac49\pi$

$\frac5{11}\pi$

$\frac6{13}\pi$

$\frac7{15}\pi$

答案：A

知识点：圆 tangent 圆周角导角

难度评级：1910

小提示：

用 $x$ 表示每个底角

Express each base angle in terms of $x$

大提示：

两条切线所成的角为 $\pi-2x$

The angle between the tangents is $\pi-2x$

解答：

两个底角均为 $\frac{\pi-x}{2}$ 。小弧 $BC$ 对应的圆心角为 $2x$ ，所以两条切线所成的角为 $\pi-2x$ 。由已知关系可得 $\frac{\pi-x}{2}=2(\pi-2x)\text{。}$ 因此 $7x=3\pi$ ，即 $x=\frac{3\pi}{7}$ 。

所以正确答案是 A。

The two base angles are each $\frac{\pi-x}{2}.$ The minor arc $BC$ has central angle $2x,$ so the angle between the tangents is $\pi-2x.$ The given relation yields $\frac{\pi-x}{2}=2(\pi-2x).$ Therefore $7x=3\pi,$ or $x=\frac{3\pi}{7}.$

Thus the correct answer is A.

1990 AMC 12 第 14 题

答案：A

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题