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2024 AMC 12A 第 14 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

14.

一个 5×55\times5 整数数组中，每一行按顺序的五个数，以及每一列按顺序的五个数，都构成一个长度为 55 的等差数列。位置 (5,5)(5,5)，(2,4)(2,4)，(4,3)(4,3) 和 (3,1)(3,1) 上的数分别是 00，4848，1616 和 1212。位置 (1,2)(1,2) 上的数是多少？

[⋅?⋅⋅⋅⋅⋅⋅48⋅12⋅⋅⋅⋅⋅⋅16⋅⋅⋅⋅⋅⋅0] \begin{bmatrix} \cdot & ? & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 48 & \cdot \\ 12 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & 16 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 \end{bmatrix}

The numbers, in order, of each row and the numbers, in order, of each column of a 5×55\times5 array of integers form an arithmetic progression of length 5.5. The numbers in positions (5,5),(5,5), (2,4),(2,4), (4,3),(4,3), and (3,1)(3,1) are 0,0, 48,48, 16,16, and 12,12, respectively. What number is in position (1,2)?(1,2)?

[⋅?⋅⋅⋅⋅⋅⋅48⋅12⋅⋅⋅⋅⋅⋅16⋅⋅⋅⋅⋅⋅0] \begin{bmatrix} \cdot & ? & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 48 & \cdot \\ 12 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & 16 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 \end{bmatrix}

1919

2424

2929

3434

3939

答案：C
知识点：等差数列方程组
难度评级：1750
小提示：

如果每行每列都是等差数列，则条目可写成 α+βi+γj+δij\alpha+\beta i+\gamma j+\delta ij。

If every row and every column is arithmetic, the entry has the form α+βi+γj+δij\alpha+\beta i+\gamma j+\delta ij

大提示：

将四个已知条目代入这个形式，解出 α,β,γ,δ\alpha,\beta,\gamma,\delta。

Substitute the four known entries into that form and solve for α,β,γ,δ\alpha,\beta,\gamma,\delta

解答：

行和列都为等差数列的网格，其条目可写成双线性形式 a(i,j)=α+βi+γj+δija(i,j)=\alpha+\beta i+\gamma j+\delta ij。四个已知值给出 α+5β+5γ+25δ=0， \alpha+5\beta+5\gamma+25\delta=0\text{，}α+2β+4γ+8δ=48， \alpha+2\beta+4\gamma+8\delta=48\text{，}α+4β+3γ+12δ=16， \alpha+4\beta+3\gamma+12\delta=16\text{，}α+3β+γ+3δ=12。 \alpha+3\beta+\gamma+3\delta=12\text{。}

解得 δ=−5, β=5, \delta=-5,\ \beta=5,\ γ=22, α=−10\gamma=22,\ \alpha=-10。于是 a(1,2)=α+β+2γ+2δa(1,2)=\alpha+\beta+2\gamma+2\delta =−10+5+44−10=-10+5+44-10 =29=29。

因此正确答案是 C。

A grid whose rows and columns are all arithmetic has entries of the bilinear form a(i,j)=α+βi+γj+δij.a(i,j)=\alpha+\beta i+\gamma j+\delta ij. The four givens yield α+5β+5γ+25δ=0, \alpha+5\beta+5\gamma+25\delta=0, α+2β+4γ+8δ=48, \alpha+2\beta+4\gamma+8\delta=48, α+4β+3γ+12δ=16, \alpha+4\beta+3\gamma+12\delta=16, α+3β+γ+3δ=12. \alpha+3\beta+\gamma+3\delta=12.

Solving gives δ=−5, β=5, \delta=-5,\ \beta=5,\ γ=22, α=−10.\gamma=22,\ \alpha=-10. Then a(1,2)=α+β+2γ+2δa(1,2)=\alpha+\beta+2\gamma+2\delta =−10+5+44−10=-10+5+44-10 =29.=29.

Thus, the correct answer is C.

第 13 题#13
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第 15 题#15

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