Question

多项式 $x^3+2x^2-x+3$ 的根为 $p$ 、 $q$ 和 $r$ 。求下式的值： $(p^2+4)(q^2+4)(r^2+4)\text{？}$

The roots of $x^3+2x^2-x+3$ are $p$ , $q$ , and $r$ . What is the value of $(p^2+4)(q^2+4)(r^2+4)?$

$64$

$75$

$100$

$125$

$144$

答案：D

知识点：复数多项式

难度评级：1710

小提示：

$p^2+4=(p-2i)(p+2i)$ ，所以这个乘积与 $P(2i)$ 和 $P(-2i)$ 有关，其中 $P(x)=x^3+2x^2-x+3$

$p^2+4=(p-2i)(p+2i),$ so the product relates to $P(2i)$ and $P(-2i),$ where $P(x)=x^3+2x^2-x+3$

大提示：

$P(2i)$ 和 $P(-2i)$ 是共轭复数；将它们相乘得到实数

$P(2i)$ and $P(-2i)$ are complex conjugates; multiply them to get a real number

解答：

因为 $P(x)=(x-p)(x-q)(x-r)$ ，将所有根上的 $p^2+4=(p-2i)(p+2i)$ 分组可得 $\prod(p^2+4)=P(2i)\,P(-2i)\text{。}$ 计算得 $P(2i)=-8i-8-2i+3$ $=-5-10i$ ，而 $P(-2i)=8i-8+2i+3$ $=-5+10i$ 。它们的乘积为 $(-5)^2+10^2=25+100=125$ 。因此正确答案是 D。

Since $P(x)=(x-p)(x-q)(x-r),$ grouping $p^2+4=(p-2i)(p+2i)$ over all roots gives $\prod(p^2+4)=P(2i)\,P(-2i).$ Compute $P(2i)=-8i-8-2i+3$ $=-5-10i$ and $P(-2i)=8i-8+2i+3$ $=-5+10i.$ Their product is $(-5)^2+10^2=25+100=125.$ Thus, the correct answer is D.

2024 AMC 12A 第 15 题

答案：D

难度评级：1710

小提示：

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解答：

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