1956 AMC 12 第 15 题

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15.

方程 15x242x2=1\dfrac{15}{x^2-4}-\dfrac2{x-2}=1 的根为:

The root(s) of 15x242x2=1\dfrac{15}{x^2-4}-\dfrac2{x-2}=1 is (are):

5-533

5-5 and 33

±2\pm2

22

22 only

3-355

3-3 and 55

33

33 only

答案:A
知识点:分式方程因式分解domain restrictions
难度评级:1630
小提示:

原方程要求 x±2x\ne\pm2

The original equation requires x±2x\ne\pm2

大提示:

两边同乘 (x2)(x+2)(x-2)(x+2),再合并同类项

Multiply through by (x2)(x+2)(x-2)(x+2) and collect terms

解答:

x±2x\ne\pm2 时,两边乘以 x24x^2-4,得 152(x+2)=x24 15-2(x+2)=x^2-4\text{。}因此 x2+2x15=0x^2+2x-15=0,所以 (x+5)(x3)=0 (x+5)(x-3)=0\text{。}x=5x=-5x=3x=3 都满足定义域限制。

因此,正确答案是 A

For x±2,x\ne\pm2, multiplying by x24x^2-4 gives 152(x+2)=x24. 15-2(x+2)=x^2-4. Hence x2+2x15=0,x^2+2x-15=0, so (x+5)(x3)=0. (x+5)(x-3)=0. Both x=5x=-5 and x=3x=3 satisfy the domain restriction.

Thus, the correct answer is A.

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