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1976 AMC 12 第 15 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

15.

用整数 dd 分别除 10591059、14171417 和 23122312，所得余数均为 rr，其中 dd 大于一。则 d−rd-r 等于

If rr is the remainder when each of the numbers 1059,1059, 14171417 and 23122312 is divided by d,d, where dd is an integer greater than one, then d−rd-r equals

11

1515

179179

d−15d-15

d−1d-1

答案：B
知识点：模运算最大公约数整除性
难度评级：1800
小提示：

余数相同意味着 dd 整除任意两数之差

A common remainder means dd divides every pairwise difference

大提示：

使用 1417−1059=358=2⋅1791417-1059=358=2\cdot179 和 2312−1417=895=5⋅1792312-1417=895=5\cdot179

Use 1417−1059=358=2⋅1791417-1059=358=2\cdot179 and 2312−1417=895=5⋅1792312-1417=895=5\cdot179

解答：

除数 dd 同时整除 358=2⋅179358=2\cdot179 和 895=5⋅179895=5\cdot179。这两个数的最大公因数为质数 179179，所以 d=179d=179。又因为 1059=5⋅179+1641059=5\cdot179+164，所以 r=164r=164，从而 d−r=15d-r=15。

所以正确答案是 B。

The divisor dd divides both 358=2⋅179358=2\cdot179 and 895=5⋅179.895=5\cdot179. Their greatest common divisor is 179,179, a prime, so d=179.d=179. Since 1059=5⋅179+164,1059=5\cdot179+164, we have r=164r=164 and d−r=15.d-r=15.

Therefore, the correct answer is B.

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