Question

下列数中有一个不能被任何小于 $10$ 的质数整除。是哪一个？

One of the following numbers is not divisible by any prime number less than $10.$ Which is it?

$2^{606} - 1$

$2^{606} + 1$

$2^{607} - 1$

$2^{607} + 1$

$2^{607} + 3^{607}$

答案：C

知识点：模运算乘法阶整除性

难度评级：1730

小提示：

五个数都是奇数，所以只需测试 $3, 5$ 和 $7$ 的整除性。

All five numbers are odd, so test divisibility only by $3, 5,$ and $7$

大提示：

使用 $2^n$ 模 $3, 5, 7$ 的循环；例如 $n$ 为偶数时 $2^n \equiv 1 \pmod 3$ 。

Use the cycles of $2^n$ modulo $3, 5, 7:$ for example $2^n \equiv 1 \pmod 3$ when $n$ is even

解答：

所有选项都是奇数，所以只需检查质数 $3, 5, 7$ 。

选项 A 中， $2^{606} \equiv 1 \pmod 3$ ，所以 $2^{606} - 1$ 能被 $3$ 整除。选项 B 中， $2^{606} \equiv 4 \pmod 5$ ，所以 $2^{606} + 1$ 能被 $5$ 整除。选项 D 中， $2^{607} \equiv 2 \pmod 3$ ，所以 $2^{607} + 1$ 能被 $3$ 整除。选项 E 对 $5$ 取模时， $2^{607} + 3^{607} \equiv 3 + 2 = 5 \equiv 0$ 。

对于 $2^{607} - 1$ ，它对三取模时 $\equiv 1 \pmod 3$ ，对五取模时 $\equiv 2 \pmod 5$ ；而且由 $2^3 \equiv 1 \pmod 7$ 和 $607 \equiv 1 \pmod 3$ 可得它对七取模时 $\equiv 1 \pmod 7$ 。因此它不能被任何小于 $10$ 的质数整除。

所以正确答案是 C。

Every option is odd, so only the primes $3, 5, 7$ need checking.

Option A: $2^{606} \equiv 1 \pmod 3,$ so $2^{606} - 1$ is divisible by $3.$ Option B: $2^{606} \equiv 4 \pmod 5,$ so $2^{606} + 1$ is divisible by $5.$ Option D: $2^{607} \equiv 2 \pmod 3,$ so $2^{607} + 1$ is divisible by $3.$ Option E: modulo $5,$ $2^{607} + 3^{607} \equiv 3 + 2 = 5 \equiv 0.$

For $2^{607} - 1:$ it is $\equiv 1 \pmod 3,$ $\equiv 2 \pmod 5,$ and (since $2^3 \equiv 1 \pmod 7$ and $607 \equiv 1 \pmod 3$ ) $\equiv 1 \pmod 7.$ So it is not divisible by any prime below $10.$

Thus, the correct answer is C.

2022 AMC 12B 第 15 题

答案：C

难度评级：1730

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解答：

其他年份的第 15 题